Question

如圖，AE是△ABC中BC邊上的高線也是中線，點(diǎn)D在線段AE上（不與兩端點(diǎn)重合）．
（1）證明：△ADB≌△ADC；
（2）當(dāng)△AEB∽△BED時(shí)，若sin∠BAE=

1

3

，BC=4，求線段DE的長度．

Answer 1

分析：（1）由已知證明AE垂直平分線段BC，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得AB=AC，DB=DC，而AD=AD，利用“SSS”證明△ADB≌△ADC；
（2）由△AEB∽△BED得∠DBE=∠BAE，把問題轉(zhuǎn)化到Rt△BDE中，解直角三角形求DE．

解答：（1）證明：∵AE是△ABC中BC邊上的高線也是中線，即線段AE在BC的中垂線上，
∴AB=AC，DB=DC，
又∵AD=AD，
∴△ADB≌△ADC（SSS）；

（2）解：∵△AEB∽△BED，∴∠BAE=∠DBE，
∵sin∠BAE=

1

3

，
∴sin∠DBE=

1

3

，
在Rt△DBE中，sin∠DBE=

1

3

=

DE

BD

，
∴BD=3DE，
又BC=4，E為中點(diǎn)，∴BE=2，
∵DE²+BE²=BD²，∴DE²+4=9DE²，
解得 DE=

2

2

．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形．關(guān)鍵是根據(jù)題意得出線段的垂直平分線．