Question

2．AB為⊙O直徑，BC為⊙O切線，切點為B，CO平行于弦AD，作直線DC．
①求證：DC為⊙O切線；
②若AD•OC=8，求⊙O半徑r．

Answer 1

分析 ①連接OD，要證明DC是⊙O的切線，只要證明∠ODC=90°即可．根據(jù)題意，可證△OCD≌△OCB，即可得∠CDO=∠CBO=90°，由此可證DC是⊙O的切線；
②連接BD，OD．先根據(jù)兩角對應相等的兩三角形相似證明△ADB∽△ODC，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例即可得到r的值．

解答 ①證明：連接OD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵AD∥OC，
∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD，
∴∠BOC=∠COD．
∵在△OBC與△ODC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OD}\\{∠BOC=∠DOC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△ODC（SAS），
∴∠OBC=∠ODC，
又∵BC是⊙O的切線，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴DC是⊙O的切線；

②解：連接BD．
∵在△ADB與△ODC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠COD}\\{∠ADB=∠ODC=90°}\end{array}\right.$，
∴△ADB∽△ODC，
∴AD：OD=AB：OC，
∴AD•OC=OD•AB=r•2r=2r²，即2r²=8，
故r=2．

點評 本題考查了切線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．