【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2﹣2ax+c(a<0)的圖象與x軸負半軸交于點A(﹣1,0),與y軸正半軸交于點B,頂點為P,且OB=3OA,一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過A、B.
(1)求一次函數(shù)解析式;
(2)求頂點P的坐標;
(3)平移直線AB使其過點P,如果點M在平移后的直線上,且 ,求點M坐標;
(4)設拋物線的對稱軸交x軸于點E,連接AP交y軸于點D,若點Q、N分別為兩線段PE、PD上的動點,連接QD、QN,請直接寫出QD+QN的最小值.
【答案】
(1)
解:∵A(﹣1,0),
∴OA=1
∵OB=3OA,
∴B(0,3)
∴圖象過A、B兩點的一次函數(shù)的解析式為:y=3x+3
(2)
解:∵二次函數(shù)y=ax2﹣2ax+c(a<0)的圖象與x軸負半軸交于點A(﹣1,0),與y軸正半軸交于點B(0,3),
∴c=3,a=﹣1,
∴二次函數(shù)的解析式為:y=﹣x2+2x+3
∴拋物線y=﹣x2+2x+3的頂點P(1,4)
(3)
解:設平移后的直線的解析式為:y=3x+m
∵直線y=3x+m過P(1,4),
∴m=1,
∴平移后的直線為y=3x+1
∵M在直線y=3x+1,且
設M(x,3x+1)
①當點M在x軸上方時,有 ,
∴ ,
∴
②當點M在x軸下方時,有 ,
∴ ,
∴ ,
(4)
解:作點D關于直線x=1的對稱點D′,過點D′作D′N⊥PD于點N,
當﹣x2+2x+3=0時,解得,x=﹣1或x=3,
∴A(﹣1,0),
P點坐標為(1,4),
則可得PD解析式為:y=2x+2,
根據(jù)ND′⊥PD,
設ND′解析式為y=kx+b,
則k=﹣ ,
將D′(2,2)代入即可求出b的值,
可得函數(shù)解析式為y=﹣ x+3,
將兩函數(shù)解析式組成方程組得: ,
解得 ,
故N( , ),
由兩點間的距離公式:d= = ,
∴所求最小值為
【解析】(1)根據(jù)拋物線的解析式即可得出B(0,3),根據(jù)OB=3OA,可求出OA的長,也就得出了A點的坐標,然后將A、B的坐標代入直線AB的解析式中,即可得出所求;(2)將(1)得出的A點坐標代入拋物線的解析式中,可求出a的值,也就確定了拋物線的解析式進而可求出P點的坐標;(3)易求出平移后的直線的解析式,可根據(jù)此解析式設出M點坐標(設橫坐標,根據(jù)直線的解析式表示出縱坐標).然后過M作x軸的垂線設垂足為E,在構建的直角三角形AME中,可用M點的坐標表示出ME和AE的長,然后根據(jù)∠OAM的正切值求出M的坐標.(本題要分M在x軸上方和x軸下方兩種情況求解.方法一樣.)(4)作點D關于直線x=1的對稱點D′,過點D′作D′N⊥PD于點N,根據(jù)垂線段最短求出QD+QN的最小值.
【考點精析】掌握二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道二次函數(shù)圖像關鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減小;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】按要求解答下列各題
(1)已知a、b 互為相反數(shù),c、d 互為倒數(shù),x=(-2)2。
試求x2 -(a + b + c×d) x +(a + b)2015 +(-c×d)2016的值。
(2)已知有理數(shù)a、b、c 滿足|a-1|+|b-3|+|3c-1|=0,求(a×b×c)178 ÷(a36×b7×c6)的值。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知Rt△ABC,∠ABC=90°,以直角邊AB為直徑作⊙O,交斜邊AC于點D,連接BD.
(1)若AD=3,BD=4,求邊BC的長;
(2)取BC的中點E,連接ED,試證明ED與⊙O相切.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】中華文明,源遠流長;中華漢字,寓意深廣,為了傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校團委組織了一次全校3000名學生參加的“漢字聽寫”大賽,賽后發(fā)現(xiàn)所有參賽學生的成績均不低于50分,為了更好地了解本次大賽的成績分布情況,隨機抽取了其中200名學生的成績(成績x取整數(shù),總分100分)作為樣本進行整理,得到下列不完整的統(tǒng)計圖表:
成績x/分 | 頻數(shù) | 頻率 |
50≤x<60 | 10 | 0.05 |
60≤x<70 | 30 | 0.15 |
70≤x<80 | 40 | n |
80≤x<90 | m | 0.35 |
90≤x≤100 | 50 | 0.25 |
請根據(jù)所給信息,解答下列問題:
(1)m= , n=;
(2)請補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)這次比賽成績的中位數(shù)會落在分數(shù)段;
(4)若成績在90分以上(包括90分)的為“優(yōu)”等,則該校參加這次比賽的3000名學生中成績“優(yōu)”等約有多少人?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在一次中學生田徑運動會上,根據(jù)參加男子跳高初賽的運動員的成績(單位:m),繪制出如下的統(tǒng)計圖①和圖②,請根據(jù)相關信息,解答下列問題:
(Ⅰ)圖1中a的值為 ;
(Ⅱ)求統(tǒng)計的這組初賽成績數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù);
(Ⅲ)根據(jù)這組初賽成績,由高到低確定9人進入復賽,請直接寫出初賽成績?yōu)?.65m的運動員能否進入復賽.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知∠ADC=∠EFC,∠3=∠C,可推得∠1=∠2.理由如下:
解:因為∠ADC=∠EFC(已知)
所以AD∥EF( ).
所以∠1=∠4( ),
因為∠3=∠C(已知),
所以AC∥DG( ).
所以∠2=∠4( ).
所以∠1=∠2(等量代換).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖在坐標系中放置一菱形OABC,已知∠ABC=60°,OA=1.先將菱形OABC沿x軸的正方向無滑動翻轉(zhuǎn),每次翻轉(zhuǎn)60°,連續(xù)翻轉(zhuǎn)2015次,點A的落點依次為A1 , A2 , A3 , …,則A2015的坐標為.( )
A.(1343,0)
B.(1347,0)
C.(1343 , )
D.(1347 , )
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某面粉加工廠要加工一批小麥,2臺大面粉機和5臺小面粉機同時工作2小時共加工小麥1.1萬斤;3臺大面粉機和2臺小面粉機同時工作5小時共加工小麥3.3萬斤.
(1)1臺大面粉機和1臺小面粉機每小時各加工小麥多少萬斤?
(2)該廠現(xiàn)有9.45萬斤小麥需要加工,計劃使用8臺大面粉機和10臺小面粉機同時工作5小時,能否全部加工完?請你幫忙計算一下.
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