Question

如圖，△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D在AB上．
（1）求證：△AOC≌△BOD；
（2）判斷△CAD是什么形狀的三角形，說明理由；
（3）若CD=2，AC=

3

，∠ACD=30°，求AB的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得出∠1=∠2，進而利用SAS即可得出△AOC≌△BOD；
（2）利用△AOC≌△BOD，則∠CAO=∠DBO=45°，即可得出△CAD是直角三角形；
（3）利用∠ACD=30°，CD=2，結(jié)合直角三角形中30°所對的邊等于斜邊的一半得出AD=

1

2

CD=1，得出AB=AD+BD=AD+AC即可得出答案．

解答：（1）證明：∵△AOB和△COD均為等腰直角三角形，
∠AOB=∠COD=90°，
∴∠1=90°-∠3，∠2=90°-∠3，
∴∠1=∠2，
在△AOC和△BOD中

CO=DO ∠1=∠2 OA=OB

，
∴△AOC≌△BOD（SAS）；

（2）解：△CAD是直角三角形；
理由：∵△AOC≌△BOD，
∴∠CAO=∠DBO=45°，
又∠BAO=45°，
∴∠CAD=90°，
∴△CAD是直角三角形；

（3）解：在Rt△CAD中，∠ACD=30°，CD=2，
∴AD=

1

2

CD=1，
又∵△AOC≌△BOD，
∴AC=BD，
∴AB=AD+BD=AD+AC=1+

3

．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的判定方法，根據(jù)全等三角形的判定AOC≌△BOD是解題關(guān)鍵．