Question

20．如圖，雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）經過△OAB的頂點A和OB的中點C．AB∥x軸，點A的坐標為（4，6），連接AC交x軸于D．連接BD．
（1）確定k的值；
（2）求直線AC的解析式；
（3）判斷四邊形OABD的形狀，并說明理由；
（4）求△OAC的面積．

Answer 1

分析 （1）把A的坐標代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）由AB與x軸平行，且A縱坐標為6，得到B縱坐標為6，再由C為OB中點，確定出C縱坐標為3，代入反比例解析式確定出C坐標，利用待定系數(shù)法確定出直線AC解析式即可；
（3）四邊形OABC為平行四邊形，理由為：由C的坐標確定出B的坐標，進而確定出AB的長，由直線AC與x軸的交點為D，確定出D坐標，得出OD的長，由AB與OD平行且相等，得到四邊形OABC為平行四邊形；
（4）由四邊形OABC為平行四邊形，得到對角線互相平分，得到三角形AOC面積為平行四邊形面積的四分之一，求出即可．

解答 解：（1）將A（4，6）代入解析式y(tǒng)=$\frac{k}{x}$得：k=24；
（2）∵AB∥x軸，B的縱坐標是6，C為OB中點，
∴把y=3代入反比例解析式得：x=8，即C坐標為（8，3），
設直線AC的解析式為y=kx+b，
將A（4，6）與C（8，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=6}\\{8k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=9}\end{array}\right.$，
則直線AC解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+9；
（3）四邊形OABC為平行四邊形，理由為：
∵點C的坐標為（8，3），
∴B的坐標為（16，6），即AB=12，
把y=0代入y=-$\frac{3}{4}$x+9中得：x=12，即D（12，0），
∴OD=12，
∴AB=OD，
∵AB∥OD，
∴四邊形OABC為平行四邊形；
（4）∵S_{四邊形OABC}=12×6=72，
∴S_△OAC=$\frac{1}{4}$S_{四邊形OABC}=18．

點評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定反比例、一次函數(shù)解析式，坐標與圖形性質，平行四邊形的判定與性質，以及線段中點坐標，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵．