Question

3．如圖，過點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）的拋物線y=-x²+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，它的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線解析式；
（2）求拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）若拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P使S_△PCB=3S_△POC，求此時(shí)DP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求得解析式；
（2）把拋物線解析式化成頂點(diǎn)式，即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）求出△POC的面積，由三角形的面積關(guān)系得出PF=3，求出直線BC的解析式，得出F的坐標(biāo)，再分兩種情況討論，即可得出DP的長(zhǎng)．

解答 解：（1）將A（-1，0），B（3，0）代入y=-x²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：b=2，c=3，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3；
（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；
（3）設(shè)BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)F，如圖所示：
則點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為1，
∵y=-x²+2x+3，
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴OC=3，
∴△POC的面積=$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{3}{2}$，
∵△PCB的面積=△PCF的面積+△PBF的面積=$\frac{1}{2}$PF（1+2）=3×$\frac{3}{2}$，
解得：PF=3，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+a，則$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{3k+a=0}\end{array}\right.$，
解得：a=3，k=-1，
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
當(dāng)x=1時(shí)，y=2，
∴F的坐標(biāo)為（1，2），
∴EF=2，
當(dāng)點(diǎn)P在F的上方時(shí)，PE=PF+EF=5，
∴DP=5-4=1；
當(dāng)點(diǎn)P在F的下方時(shí)，PE=PF-EF=3-2=1，
∴DP=4+1=5；
綜上所述：DP的長(zhǎng)為1或5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求拋物線和直線的解析式；求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和與y的交點(diǎn)坐標(biāo)是本題的關(guān)鍵．