Question

在等邊△ABC中，點(diǎn)E為射線BA上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF=EC，交直線BC于點(diǎn)F．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長線上時，求證：CF=AB-AE；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段BA上時，直接寫出CF、AB、AE之間的數(shù)量關(guān)系：

 

；
（3）在（2）的條件下，延長FE交AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥BC于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)E為AB中點(diǎn)時，在圖3中畫出圖形，并探究線段BN與CN的數(shù)量關(guān)系，請證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）作GF∥AC，則△BFG為等邊三角形，易證△EFG≌△ECA，可得AE=FG，根據(jù)等邊三角形各邊長相等的性質(zhì)即可解題；
（2）作EG∥BC，則△AEG為等邊三角形，可證△BEF≌△GCE，即可求得EG=BF，即可求得CF=AB+AE；
（3）作出圖形，根據(jù)30°角所對直角邊是斜邊一半即可求得CN和AB的大小關(guān)系，即可解題．

解答：解：（1）作GF∥AC，則△BFG為等邊三角形，

∵∠BGF=60°，
∴∠EGF=120°，
∴∠EAC=∠FGE，
∵EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∵∠B+∠FEG=∠EFC，∠ECA+∠ACB=∠ECF，
∴∠FEG=∠ECA，
在△EFG和△ECA中，

∠EAC=∠FGE ∠ECA=∠FEG EC=EF

，
∴△EFG≌△ECA（AAS），
∴AE=GF，
∵等邊△BFG中，BF=FG，
∴AE=BF，
∴CF=BC-BF=AB-AE；
（2）CF=AB+AE，
證明：作EG∥BC，則△AEG為等邊三角形，

∵EG∥BC，
∴∠GEC=∠ECF，
∵EF=EC，
∴∠F=∠ECB，
∴∠F=∠GEC；
在△BEF和△GCE中，

∠CGE=∠EBF=120° ∠GEC=∠F EC=EF

，
∴△BEF≌△GCE，（AAS）
∴EG=BF，
∴CF=BC+CF=AB+EG=AB+AE；
（3）作出圖形，

∵AE=BE，AE=BF，
∴BE=BF，
∴∠F=∠BEF=30°，
∴∠AEM=30°，
∴AE=2AM，
∴CM=AC-AM=

3

4

AB，
∵RT△CMN中，∠MCN=60°，
∴MC=2CN，
∴CN=

3

8

AB，
∴BN=

5

8

AB，
∴

BN

CN

=

5

3

．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△EFG≌△ECA是解題的關(guān)鍵．