【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以CB為半徑作⊙C,交AC于點(diǎn)D,交AC的延長線于點(diǎn)E,連接ED,BE

(1)求證:△ABD∽△AEB;

(2)當(dāng)時(shí),求tanE;

(3)在(2)的條件下,作∠BAC的平分線,與BE交于點(diǎn)F,若AF=2,求⊙C的半徑

【答案】(1)證明見解析;(2);(3)

【解析】

試題分析:(1)要證明△ABD∽△AEB,已經(jīng)有一組對(duì)應(yīng)角是公共角,只需要再找出另一組對(duì)應(yīng)角相等即可.

(2)由于AB:BC=4:3,可設(shè)AB=4,BC=3,求出AC的值,再利用(1)中結(jié)論可得AB2=ADAE,進(jìn)而求出AE的值,所以tanE=;

(3)設(shè)設(shè)AB=4x,BC=3x,由于已知AF的值,構(gòu)造直角三角形后利用勾股定理列方程求出x的值,即可知道半徑3x的值.

試題解析:(1)∵∠ABC=90°,∴∠ABD=90°﹣∠DBC,由題意知:DE是直徑,∴∠DBE=90°,∴∠E=90°﹣∠BDE,∵BC=CD,∴∠DBC=∠BDE,∴∠ABD=∠E,∵∠A=∠A,∴△ABD∽△AEB;

(2)∵AB:BC=4:3,∴設(shè)AB=4,BC=3,∴AC==5,∵BC=CD=3,∴AD=AC﹣CD=5﹣3=2,由(1)可知:△ABD∽△AEB,∴,∴=ADAE,∴=2AE,∴AE=8,在Rt△DBE中

tanE===;

(3)過點(diǎn)F作FM⊥AE于點(diǎn)M,∵AB:BC=4:3,∴設(shè)AB=4x,BC=3x,∴由(2)可知;AE=8x,AD=2x,∴DE=AE﹣AD=6x,∵AF平分∠BAC,∴,∴,∵tanE=,∴cosE=,sinE=,∴,∴BE=,∴EF=BE=,∴sinE==,∴MF=,∵tanE=,∴ME=2MF=,∴AM=AE﹣ME=,∵,∴,∴x=,∴⊙C的半徑為:3x=

練習(xí)冊(cè)系列答案
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