Question

【題目】四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)在邊所在的直線上，連接，以為邊，作正方形（點(diǎn)，點(diǎn)在直線的同側(cè)），連接

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，

①求點(diǎn)到的距離

②求的長(zhǎng)

（3）若，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】(1)BF=4;(2)①點(diǎn)到的距離為3；②BF=；(3)AE=2+或AE=1.

【解析】

試題分析：（1）過(guò)點(diǎn)F作FMBA, 交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，根據(jù)勾股定理求得AC=,又因點(diǎn)與點(diǎn)重合，可得△AFM為等腰直角三角形且AF=,再由勾股定理求得AM=FM=4,在Rt△BFM中，由勾股定理即可求得BF=4;（2）①過(guò)點(diǎn)F作FHAD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，根據(jù)已知條件易證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得FH=ED，又因AD=4,AE=1,所以ED=AD-AE=4-1=3,即可求得FH=3，即點(diǎn)到的距離為3；②延長(zhǎng)FH交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，求得FK和BK的長(zhǎng)，在Rt△BFK中，根據(jù)勾股定理即可求得BF的長(zhǎng)；（3）分點(diǎn)E在線段AD的延長(zhǎng)線上和點(diǎn)E在線段DA的延長(zhǎng)線上兩種情況求解即可.

試題解析：

(1)BF=4;

(2) 如圖，

①過(guò)點(diǎn)F作FHAD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，

∵四邊形CEFG是正方形

∴EC=EF,∠FEC=90°

∴∠DEC+∠FEH=90°，

又因四邊形是正方形

∴∠ADC=90°

∴∠DEC+∠ECD=90°，

∴∠ECD=∠FEH

又∵∠EDC=∠FHE=90°，

∴

∴FH=ED

∵AD=4,AE=1,

∴ED=AD-AE=4-1=3,

∴FH=3，

即點(diǎn)到的距離為3.

②延長(zhǎng)FH交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，

∴∠DHK=∠HDC=∠DCK =90°，

∴四邊形CDHK為矩形，

∴HK=CD=4,

∴FK=FH+HK=3+4=7

∵

∴EH=CD=AD=4

∴AE=DH=CK=1

∴BK=BC+CK=4+1=5,

在Rt△BFK中，BF=

(3)AE=2+或AE=1.