Question

如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）說明BE=CF的理由；
（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得DE=DF，又由DG⊥BC且平分BC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得BD=CD，繼而可證得Rt△BED≌Rt△CFD，則可得BE=CF；
（2）首先證得△AED≌△AFD，即可得AE=AF，然后設(shè)BE=x，由AB-BE=AC+CF，即可得方程5-x=3+x，解方程即可求得答案．

解答：（1）證明：連接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD=CD，
在Rt△BED與Rt△CFD中，

BD=CD DE=DF

，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；

（2）解：在△AED和△AFD中，

∠AED=∠AFD=90° ∠EAD=∠FAD AD=AD

，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，
設(shè)BE=x，則CF=x，
∵AB=5，AC=3，AE=AB-BE，AF=AC+CF，
∴5-x=3+x，
解得：x=1，
∴BE=1，AE=AB-BE=5-1=4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，利用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想求解．