Question

聰明好學(xué)的小敏查閱有關(guān)資料發(fā)現(xiàn)：用不過(guò)圓錐頂點(diǎn)且平行于一條母線的平面截圓錐所得的截面為拋物面，即圖（1）中曲線CFD為拋物線的一部分.圓錐體SAB的母線長(zhǎng)為10，側(cè)面積為50π，圓錐的截面CFD交母線SB于F，交底面圓P于C、D，AB⊥CD，垂足為O，OF∥SA且OF⊥CD，OP=4.

1.求底面圓的半徑AP的長(zhǎng)及圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的度數(shù)；

2.當(dāng)以CD所在直線為x軸，OF所在的直線為y軸建立如圖（2）所示的直角坐標(biāo)系.求過(guò)C、F、D三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

3.在拋物面CFD中能否截取長(zhǎng)為5.6，寬為2.2的矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

1.設(shè)AP=r，則×2πr×10=50π,∴r=5……………….1分

設(shè)圓心角的度數(shù)為n，則nπ×10÷360=50π

∴n=180°，AP=5

答：AP的長(zhǎng)5，圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)為180°……2分

2.連接CP，在Rt△COP中，CP=5，OP=4,∴CO=3……………3分

∵P為圓心，PO⊥CD，

∴CO=DO,即AB垂直平分CD.

∵AB=10，SA=SB=10，

∴△SAB為等邊三角形，

∴∠SAB=∠ABS=60°，

∵FO∥SA，∴∠FOB=∠OBF=60°，

∴FO=OB=4+5=9,∴F（0，9），……………………………5分

因?yàn)锳B垂直平分CD，

∴F為過(guò)C、F、D三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)，

設(shè)拋物線的關(guān)系式y(tǒng)=ax+9,，過(guò)C（-3，0）得a(-3)+9=0

∴a=-1,∴y=－x+9………………………………………7分

3.當(dāng)x==2.8時(shí)，y= -2.8+9＜2.2，--------8分

當(dāng)x=2.2÷2=1.1時(shí)，y= -1.1+9＞5.6------9分

∴由矩形與拋物線的對(duì)稱性可知，能截取長(zhǎng)為5.6，寬為2.2的矩形…………10分

【解析】略