Question

關于m和n的方程5m²-6mn+7n²=2011是否存在整數解？如果存在，請寫出一組解來；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：首先假設此方程有整數解，然后化5m²-6mn+7n²=2011為：4m²+（m-3n）²-2n²=2011，由奇數的平方除以4余1，偶數的平方除以4余0，可得只有m-3n是奇數，然后分別從n是偶數，m是奇數與m是偶數，n是奇數去分析，推出矛盾，則可證得關于m和n的方程5m²-6mn+7n²=2011不存在整數解．

解答：證明：假設此方程有整數解．
化5m²-6mn+7n²=2011為：4m²+（m-3n）²-2n²=2011，
又∵2011是奇數，
∴只有m-3n是奇數，
若n是偶數，則m就是奇數．
又∵奇數的平方除以8余1，偶數的平方除以8余0或4，
∴4m²+（m-3n）²-2n²除以8的余數為4+1-0=5；
∵2011除以8余3．
∴這是一個矛盾；
∴m可能為是偶數，n就是奇數，
∵解原方程：m=

6n± 36n2-20(7n2-2011)

10

=

3n± 10055-26n2

5

①，
∵m是偶數，n是奇數，
∴10055-26n²＞0，且是個平方數，
∴n²＜387，
即n≤19，
然后將n=1，3，5，…，19代入①求解，
但無符合條件的值．
∴這也是一個矛盾．
∴原方程無整數解．

點評：此題考查了一元二次方程的整數根與有理根的知識．解題的關鍵只注意掌握反證法的應用與分類討論思想的應用．