Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，-4），交x軸于A、B兩點（A點在B點的左邊），交y軸于點C，已知A、B兩點之間的距離為4．
（1）求這個拋物線的解析式及C點坐標(biāo)；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使點P到B、C兩點間的距離之差最大？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）在x軸上方平行于x軸的一條直線y=m交拋物線于M、N兩點，在x軸上是否存在一點Q，使△QMN為等腰直角三角形？若存在，求出相對應(yīng)的m值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得出A，B兩點的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式和點C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)拋物線的對稱性可得|PB-PC|=|PA-PC|，即P、C、A三點共線的時候這個差最大，得點P坐標(biāo)為（1，-6）；
（3）先假設(shè)存在一點Q，使△QMN為等腰直角三角形，再按此條件計算，分類討論可得出結(jié)果．

解答：解：（1）根據(jù)題意，A（-1，0），B（3，0），頂點（1，-4）
∴解方程組：

a+b+c=4 a-b+c=0 9a+3b+c=0

，
解得：a=1，b=-2，c=-3．
∴這個拋物線的解析式：y=x²-2x-3．
∵C點是拋物線與y軸的交點．
∴C（0，-3）；

（2）∵P在拋物線的對稱軸上，
又∵A、B是關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
∴PB=PA，
即：|PB-PC|=|PA-PC|，（根據(jù)對稱性，求P到B和C的距離之差就是求P到A和C的距離之差）
∴P、C、A三點共線的時候這個差最大．
∴連接AC并延長與拋物線對稱軸交于一點P即為所求．
∴根據(jù)A、C兩點求出AC的方程：y=-3x-3
∴AC與對稱軸x=1的交點P坐標(biāo)為（1，-6）．

（3）假設(shè)存在一點Q，使△QMN為等腰直角三角形，
分三種情況：MQ=MN與NQ=MN時不成立，
若QN=QM，
則可得Q₁（2，0），
∴m=3．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和等腰三角形的性質(zhì)等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結(jié)合和分類討論等數(shù)學(xué)思想的運用，同學(xué)們要加強訓(xùn)練，屬于中檔題．