Question

如圖，已知：在⊙O中，直徑AB=4，點(diǎn)E是OA上任意一點(diǎn)，過(guò)E作弦CD⊥AB，點(diǎn)F是

BC

上一點(diǎn)，連接AF交CE于H，連接AC、CF、BD、OD．
（1）求證：△ACH∽△AFC；
（2）猜想：AH•AF與AE•AB的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的猜想；
（3）探究：當(dāng)點(diǎn)E位于何處時(shí)，S_△AEC：S_△BOD=1：4，并加以說(shuō)明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)垂徑定理得到弧AC=弧AD，再根據(jù)圓周角定理的推論得到∠F=∠ACH，根據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等證明兩個(gè)三角形相似；
（2）連接BF，構(gòu)造直角三角形，把要探索的四條線段放到兩個(gè)三角形中，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)證明；
（3）根據(jù)三角形的面積公式，得到兩個(gè)三角形的面積比即為AE：OB，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為AE：AO的比，再根據(jù)半徑的長(zhǎng)求得OE的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵直徑AB⊥CD，
∴

AC

=

AD

，
∴∠F=∠ACH，
又∠CAF=∠FAC，
∴△ACH∽△AFC．

（2）解：AH•AF=AE•AB．
證明：連接FB，
∵AB是直徑，
∴∠AFB=∠AEH=90°，
又∠EAH=∠FAB，
∴Rt△AEH∽R(shí)t△AFB，
∴

AE

AF

=

AH

AB

，
∴AH•AF=AE•AB．

（3）解：當(dāng)OE=

3

2

時(shí)，S_△AEC：S_△BOD=1：4．
理由：∵直徑AB⊥CD，
∴CE=ED，
∵S_△AEC=

1

2

AE•EC，
S_△BOD=

1

2

OB•ED，
∴

S△AEC

S△BOD

=

1 2 ×AE×EC

1 2 ×OB×ED

=

AE

OB

=

1

4

，
∵⊙O的半徑為2，
∴

2-OE

2

=

1

4

，
∴8-4OE=2，
∴OE=

3

2

．
即當(dāng)點(diǎn)E距離點(diǎn)O

3

2

時(shí)S_△AEC：S_△BOD=1：4．

點(diǎn)評(píng)：能夠綜合運(yùn)用垂徑定理和圓周角定理的推論得到有關(guān)的角相等．掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．