Question

 如圖24，已知點(diǎn)D為等腰直角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BAD＝∠ABD＝30°，E為AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE＝CA．

（1）求證：△ADC△BDC

（2）求證：DE平分∠BDC；

（3）若點(diǎn)M在DE上，且DC=DM，求證：ME=BD．

 

Answer 1

證明：（1）在等腰直角△ABC中， BC=AC

∵∠BAD＝∠ABD＝30°

∴BD= AD

在△BDC與△ADC中

BC=AC，BD= AD，DC=DC

∴△BDC≌△ADC……………3分

（2）在等腰直角△ABC中

∠BAC=∠ABC=45^o

∵∠BAD=∠ABD=30°

∴∠CAD=∠CBD=45^o-30^o =15^o，

∵△ACD≌△BCD
∴∠ACD=∠BCD= 45°
∴∠ADC=∠BDC=180°-15°-45°=120°

∠ADB=360°-120°-120°=120°
∴∠BDE=∠CDE=180°-120°=60°

∴∠BDM=∠EDC，

∴DE平分∠BDC；   ……………6分

（3）如圖，連接MC，

∵DC=DM，且∠MDC=60°，

∴△MDC是等邊三角形，即CM=CD．

又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，

∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，

∴∠EMC=∠ADC．                    …………………………8分

又∵CE=CA，

∴∠DAC=∠CEM=15°，∴△ADC≌△EMC， ………………………9分

∴ME=AD=DB．                    ………………………………10分