Question

如圖，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=28cm，BC=28cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以3cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以1cm/s的速度移動，P，Q分別從A，B同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止．過Q作QD∥AB交AC于點D，連接PD，設(shè)運動時間為t秒時，四邊形BQDP的面積為s．
（1）用t的代數(shù)式表示QD的長．
（2）求s關(guān)于t的函數(shù)解析式，并求出運動幾秒梯形BQDP的面積最大？最大面積是多少？
（3）連接QP，在運動過程中，能否使△DPQ為等腰三角形？若存在，求出t的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵在△ABC中，∠B=90°，AB=28cm，BC=28cm，
∴△ABC是等腰直角三角形，
而QD∥AB，
∴DQ=CQ=28-t；

（2）依題意得BP=28-3t，
∴s=[（28-3t）+（28-t）]×t=-2t²+28t，
當t=7秒時，s最大值=98cm²；

（3）存在當PQ=PD時、PQ²=PD²
則t²+（28-3t）²=t²+（2t）²，
∴t=28（舍去），t=5.6
另解：BP=QM=DQ，則28-3t=（28-t），解得t=5.6；
當PQ=DQ時，PQ²=DQ²則t²+（28-3t）²=（28-t）²，
∴t=0或t=（大于．都舍去）；
當QD=PD時，QD²=PD²，
∴（28-t）²=t²+（2t）²
解得t=-7+7或t=-7-7（舍去）；
綜上所述當t=5.6或t=-7+7時△DPQ為等腰三角形．
分析：（1）由于在△ABC中，∠B=90°，AB=28cm，BC=28cm，而QD∥AB，由此得到DQ=CQ=28-t；
（2）根據(jù)已知條件可以得到BP=28-3t，然后利用梯形的面積公式得到s=[（28-3t）+（28-t）]×t=-2t²+28t，接著利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以求出s的最大值；
（3）存在．
當PQ=PD時，PQ²=PD²，根據(jù)勾股定理得到t²+（28-3t）²=t²+（2t）²，解方程即可求解；
當PQ=DQ時，PQ²=DQ²，根據(jù)勾股定理可以得到t²+（28-3t）²=（28-t）²，解方程即可求解；
當QD=PD時，QD²=PD²，根據(jù)勾股定理得到（28-t）²=t²+（2t）²，解方程即可求解．
點評：此題分別考查了相似三角形的性質(zhì)與判定、二次函數(shù)的最值、等腰三角形的性質(zhì)、梯形的性質(zhì)及勾股定理，綜合性比較強，要求學(xué)生有很好的分析問題解決問題的能力才能解決這類問題．