Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx+c交y軸于點(diǎn)為A（0，3），交x軸于點(diǎn)B、C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)，）頂點(diǎn)為E（1，4），過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線AL，

（1）求拋物線的解析式及B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P從頂點(diǎn)E出發(fā)沿對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作直線PQ平行于y軸交直線AL于點(diǎn)Q，保持點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)R從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，
①若點(diǎn)P在直線AL的下方，當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOR相似？
②當(dāng)t=0時(shí)，以點(diǎn)A、P、R、Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，如圖2，是否還存在另外的t值，使以點(diǎn)A、P、R、Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，求出t的值，并直接寫出該梯形的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²+4，然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求出a的值即可得解，再令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）①先求出拋物線的對(duì)稱軸解析式，再根據(jù)點(diǎn)P、R的速度求出AQ，OR，利用拋物線解析式表示出PQ，再分AQ和AO是對(duì)應(yīng)邊，AQ和OR是對(duì)應(yīng)邊，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可得到t的值；
②點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，PR∥AQ，四邊形APRQ是梯形，根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)求出時(shí)間，然后表示出AQ、PR，再利用梯形的面積公式列式計(jì)算即可得解；AP∥QR時(shí)，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠APQ=∠PQR，設(shè)PQ與x軸相交于D，從而得到△APQ和△RQD相似，然后表示出AQ、RD，再根據(jù)拋物線解析式表示出PQ，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出時(shí)間t，再根據(jù)梯形的面積=S_△APQ+S_△PQR，列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²+4，
把（0，3）代入，得，a+4=3，
解得，a=-1，
所以，函數(shù)的解析式為，y=-（x-1）²+4，
即：y=-x²+2x+3，
在y=-x²+2x+3中，令y=0，則-x²+2x+3=0，
解得，x=-1或3，
所以，B點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，0）；

（2）①∵y=-（x-1）²+4，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
∵點(diǎn)Q的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)R的速度為每秒2個(gè)單位，
∴AQ=t+1，OR=2t，
∵點(diǎn)P在拋物線上，PQ∥y軸，
∴PQ=3-[（-（t+1）²+2（t+1）+3]=（t+1）²-2（t+1），
若AQ和AO是對(duì)應(yīng)邊，∵△AQP∽△AOR，
∴

AQ

AO

=

PQ

OR

，
即

t+1

3

=

(t+1)2-2(t+1)

2t

，
解得t=3，
若AQ和OR是對(duì)應(yīng)邊，∵△AQP∽△ROA，
∴

AQ

OR

=

PQ

AO

，
即

t+1

2t

=

(t+1)2-2(t+1)

3

，
整理得，2t²-2t-3=0，
解得t₁=

1+ 7

2

，t₂=

1- 7

2

（舍去），
綜上所述，t=

1+ 7

2

或3時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOR相似；

②當(dāng)點(diǎn)P在x軸上即點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，PR∥AQ，四邊形APRQ是梯形，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），
∴AQ=t+1=3，
解得t=2，
∴AQ=2+1=3，PR=OR-OP=2×2-3=1，
S_梯形AQRP=

1

2

（3+1）×3=6；

AP∥QR時(shí)，∠APQ=∠PQR，
設(shè)PQ與x軸相交于D，
又∵∠AQP=∠RDQ=90°，
∴△APQ∽△RQD，
∵AQ=t+1，RD=OR-OD=2t-（t+1）=t-1，
PQ=（t+1）²-2（t+1），
∴

AQ

RD

=

PQ

QD

，
即

t+1

t-1

=

(t+1)2-2(t+1)

3

，
整理得，（t-1）²=3，
解得t=1+

3

或t=1-

3

（舍去），
此時(shí)，PQ=（1+

3

+1）²-2（1+

3

+1）=2

3

+3，
AQ=1+

3

+1=2+

3

，
RD=1+

3

-1=

3

，
梯形的面積=S_△APQ+S_△PQR，
=

1

2

×（2+

3

）×（2

3

+3）+

1

2

×（2

3

+3）×

3

，
=

1

2

×（2

3

+3）×（2+

3

+

3

），
=（2

3

+3）×（1+

3

），
=2

3

+6+3+3

3

，
=9+5

3

．
綜上所述，t=2時(shí)，以點(diǎn)A、P、R、Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，面積是6，
t=1+

3

時(shí)，以點(diǎn)A、P、R、Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，面積是9+5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，梯形的對(duì)邊的性質(zhì)，（1）利用頂點(diǎn)式形式求解更加簡(jiǎn)便，（2）難點(diǎn)在于兩個(gè)小題都要分情況討論．