Question

（2013•溫州二模）如圖，梯形ABCD是直角梯形，∠C=Rt∠，BC∥AD，CD=AD=8，AB=

68

，若點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)沿DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿BD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，且運(yùn)動(dòng)速度均為1單位/秒，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)即停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，

（1）求BD的長(zhǎng)；
（2）連結(jié)MN，試求時(shí)間t為何值時(shí)，使得△DMN為直角三角形？
（3）再連結(jié)AN，
①△MDN與△DNA的面積和為S，試求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
②t=

2秒或

2

5

秒或

10

3

秒

時(shí)，以△ADN的一邊所在直線為對(duì)稱軸翻折△ADN，翻折前后的兩個(gè)三角形所組成的四邊形為菱形．（直接寫出答案）

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，則四邊形DHBC為矩形，得出BH=CD=8．在Rt△ABH中，運(yùn)用勾股定理求出AH=2，則CB=DH=6．然后在Rt△BCD中，運(yùn)用勾股定理求出BD的長(zhǎng)；
（2）在△DMN中，由于∠MDN＜90°，所以△DMN為直角三角形時(shí)，分兩種情況討論：①∠DMN=90°；②∠MND=90°；
（3）①過點(diǎn)N作NE⊥CD于E，NF⊥AD于F，過點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，由DM=BN=t，得出DN=DB-BN=10-t．根據(jù)余弦函數(shù)的定義求出EN=

3

5

（10-t），根據(jù)正弦函數(shù)的定義求出NF=

4

5

（10-t），則S=S_△MDN+S_△DNA=

1

2

DM•EN+

1

2

AD•NF，代入計(jì)算即可；
②以△ADN的一邊所在直線為對(duì)稱軸翻折△ADN，翻折前后的兩個(gè)三角形所組成的四邊形為菱形時(shí)，分三種情況討論：（i）以AN邊所在直線為對(duì)稱軸翻折；（ii）以AD邊所在直線為對(duì)稱軸翻折；（iii）以DN邊所在直線為對(duì)稱軸翻折．

解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，則四邊形DHBC為矩形，BH=CD=8．
在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，BH=8，AB=

68

，
∴AH=

( 68 )2-82

=2，
∴CB=DH=AD-AH=8-2=6．
在Rt△BCD中，∵∠C=90°，BC=6，CD=8，
∴BD=

62+82

=10；

（2）∵DM=BN=t，
∴DN=DB-BN=10-t．
在△DMN中，∵∠MDN＜90°，
∴△DMN為直角三角形時(shí)，可分兩種情況討論：
①當(dāng)∠DMN=90°時(shí)，如圖2①．
∵cos∠MDN=

DM

DN

=

CD

BD

，
∴

t

10-t

=

8

10

，解得t=

40

9

；
②當(dāng)∠MND=90°時(shí)，如圖2②．
∵cos∠MDN=

DN

DM

=

CD

BD

，
∴

10-t

t

=

8

10

，解得t=

50

9

．
綜上，當(dāng)t=

40

9

或t=

50

9

時(shí)△APQ為直角三角形；

（3）①如圖3①，過點(diǎn)N作NE⊥CD于E，NF⊥AD于F，過點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H．
∵DM=BN=t，
∴DN=DB-BN=10-t．
∵sin∠MDN=

EN

DN

=

BC

BD

，
∴

EN

10-t

=

6

10

，
∴EN=

3

5

（10-t）．
∵sin∠FDN=

NF

DN

=

BH

BD

，
∴

NF

10-t

=

8

10

，
∴NF=

4

5

（10-t）．
∴S=S_△MDN+S_△DNA=

1

2

DM•EN+

1

2

AD•NF
=

1

2

•t•

3

5

（10-t）+

1

2

×8×

4

5

（10-t）
=-

3

10

t²-

1

5

t+32；

②以△ADN的一邊所在直線為對(duì)稱軸翻折△ADN，翻折前后的兩個(gè)三角形所組成的四邊形為菱形時(shí)，分三種情況討論：
（i）以AN邊所在直線為對(duì)稱軸翻折時(shí)，如圖3②（i），四邊形ADNP為菱形，則DN=AD，
即10-t=8，解得t=2；
（ii）以AD邊所在直線為對(duì)稱軸翻折時(shí)，如圖3②（ii），四邊形APDN為菱形，則DN=AN，
過點(diǎn)N作NE⊥CD于E，NF⊥AD于F，由（3）①知EN=

3

5

（10-t）=DF．
∵DN=AN，NF⊥AD于F，
∴DF=

1

2

AD，
即

3

5

（10-t）=

1

2

×8，
解得t=

10

3

；
（iii）以DN邊所在直線為對(duì)稱軸翻折時(shí)，如圖3②（iii），四邊形ADPN為菱形，連接AP，交DN于O，
則AO⊥DN，DO=

1

2

DN=

1

2

（10-t）．
在Rt△AOD中，∵∠AOD=90°，
∴OD=AD•cos∠ODA=8×

6

10

=

24

5

，
∴

1

2

（10-t）=

24

5

，解得t=

2

5

．
綜上可知，t=2秒或

2

5

秒或

10

3

秒時(shí)，以△ADN的一邊所在直線為對(duì)稱軸翻折△ADN，翻折前后的兩個(gè)三角形所組成的四邊形為菱形．
故答案為2秒或

2

5

秒或

10

3

秒．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，三角形的面積，軸對(duì)稱的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類討論是解題的關(guān)鍵．