Question

關(guān)于x的一元二次方程x²-6x+k=0的一個(gè)根是2．
（1）求k的值和方程的另一個(gè)根x₂；
（2）若直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），B（0，x₂），求直線AB的解析式；
（3）在平面直角坐標(biāo)系中畫出直線AB的圖象，P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△ABP是直角三角形，若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵2是一元二次方程x²-6x+k=0的一個(gè)根，
∴2-12+k=0，
∴k=8．（2分）
∴一元二次方程為x²-6x+8=0，
∴（x-2）（x-4）=0，
∴x₁=2，x₂=4
∴一元二次方程為x²-6x+8=0的另一個(gè)根x₂=4．（4分）

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0）
∵直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），B（0，4）
∴
解得k=-2，b=4（6分）
直線AB的解析式：y=-2x+4．（8分）

（3）畫圖正確（9分）
第一種：AB是斜邊，∠APB=90°
∵∠AOB=90°，
∴當(dāng)點(diǎn)P與原點(diǎn)O重合時(shí)，∠APB=90°，
∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0），△ABP是直角三角形．（11分）
第二種：設(shè)AB是直角邊，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，即∠ABP=90°
∵線段AB在第一象限，
∴這時(shí)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸．
設(shè)P的坐標(biāo)為（x，0）
∵A（2，0），B（0，4）
∴OA=2，OB=4，OP=-x，
∴BP²=OP²+OB²=x²+4²，AB²=OA²+OB²=2²+4²，AP²=（OA+OP）²=（2-x）²．
∵AP²=BP²+AB²，
∴x²+4²+2²+4²=（2-x）²，
解得x=-8
∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-8，0），△ABP是直角三角形．（13分）
第三種：設(shè)AB是直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，即∠BAP=90°
∵點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，
∴∠BAP＞90°
∴∠BAP=90°的情況不存在．（14分）
∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-8，0）或（0，0）時(shí)，△ABP是直角三角形．
分析：（1）利用一元二次方程的解的定義，將x=2代入原方程，列出關(guān)于k的方程，通過(guò)解方程求得k值后，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得方程的另一個(gè)根；
（2）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式；
（3）分類討論：①AB是斜邊，∠APB=90°；②AB是直角邊，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，即∠ABP=90°；③設(shè)AB是直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，即∠BAP=90°．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了一元二次方程的解、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理的逆定理等知識(shí)點(diǎn)．注意：第（2）題需要分類討論．