【題目】如圖,在頂點為P的拋物線y=ax-h2+ka≠0)的對稱軸1的直線上取點Ah,k+),過ABCl交拋物線于B、C兩點(BC的左側(cè)),點和點A關(guān)于點P對稱,過A作直線ml.又分別過點BC作直線BEmCDm,垂足為ED.在這里,我們把點A叫此拋物線的焦點,BC叫此拋物線的直徑,矩形BCDE叫此拋物線的焦點矩形.

1)直接寫出拋物線y=x2的焦點坐標以及直徑的長.

2)求拋物線y=x2-x+的焦點坐標以及直徑的長.

3)已知拋物線y=ax-h2+ka≠0)的直徑為,求a的值.

4)①已知拋物線y=ax-h2+ka≠0)的焦點矩形的面積為2,求a的值.

②直接寫出拋物線y=x2-x+的焦點短形與拋物線y=x2-2mx+m2+1公共點個數(shù)分別是1個以及2個時m的值.

【答案】(1)4(2)4(3)(4)①a=±;②當m=1-m=5+時,1個公共點,當1-m≤15≤m5+時,2個公共點,

【解析】

1)根據(jù)題意可以求得拋物線y=x2的焦點坐標以及直徑的長;

2)根據(jù)題意可以求得拋物線y=x2-x+的焦點坐標以及直徑的長;

3)根據(jù)題意和y=ax-h2+ka≠0)的直徑為,可以求得a的值;

4)①根據(jù)題意和拋物線y=ax2+bx+ca≠0)的焦點矩形的面積為2,可以求得a的值;

②根據(jù)(2)中的結(jié)果和圖形可以求得拋物線y=x2-x+的焦點矩形與拋物線y=x2-2mx+m2+1公共點個數(shù)分別是1個以及2個時m的值.

1)∵拋物線y=x2

∴此拋物線焦點的橫坐標是0,縱坐標是:0+=1,

∴拋物線y=x2的焦點坐標為(01),

y=1代入y=x2,得x1=-2,x2=2,

∴此拋物線的直徑是:2--2=4

2)∵y=x2-x+=x-32+2,

∴此拋物線的焦點的橫坐標是:3,縱坐標是:2+=3

∴焦點坐標為(3,3),

y=3代入y=x-32+2,得

3=x-32+2,解得,x1=5,x2=1,

∴此拋物線的直徑時5-1=4;

3)∵焦點Ah,k+),

k+=ax-h2+k,解得,x1=h+x2=h-,

∴直徑為:h+-h-==,

解得,a=±

a的值是;

4)①由(3)得,BC=,

CD=A'A=

所以,S=BCCD===2

解得,a=±;

②當m=1-m=5+時,1個公共點,當1-m≤15≤m5+時,2個公共點,

理由:由(2)知拋,物線y=x2-x+的焦點矩形頂點坐標分別為:

B1,3),C5,3),E1,1),D5,1),

y=x2-2mx+m2+1=x-m2+1B1,3)時,m=1-m=1+(舍去),過C5,3)時,m=5-(舍去)或m=5+,

∴當m=1-m=5+時,1個公共點;

1-m≤15≤m5+時,2個公共點.

由圖可知,公共點個數(shù)隨m的變化關(guān)系為

m1-時,無公共點;

m=1-時,1個公共點;

1-m≤1時,2個公共點;

1m5時,3個公共點;

5≤m5+時,2個公共點;

m=5+時,1個公共點;

m5+時,無公共點;

由上可得,當m=1-m=5+時,1個公共點;

1-m≤15≤m5+時,2個公共點.

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