Question

如圖1，已知線段AC∥y軸，點B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y軸與G，連OB、OC．

（1）判斷△AOG的形狀，并予以證明；（3分）

（2）若點B、C關于y軸對稱，求證：AG=GB；‚AOOB。（4分）

（3）在（2）的條件下，如圖2，點M為OA上一點，且∠ACM=45°，連接CB交y軸于P點，求證：OB=OM。（5分）

 

Answer 1

（1）等腰三角形，證明略.  ………3分

（2）：設BC交y軸于K，過A作AN⊥y軸于N，

             易證AN=CK=BK，△ANG≌△BKG，∴AG=BG，………2分

         ‚   ………2分

     解法一 易證AG=OG，故設∠OAG=∠AOG=x，

             ∠GOB=∠GBO=y，∴2x+2y=180°，x+y=90°，

             ∴AO⊥BO.

     解法二：連BC，∵B、C關于y軸對稱，AC//y軸，∴AC⊥BC，

             易證△COD≌△BOE（HL），∴∠DCO=∠ABO，

             ∴∠BAC+∠BOC=180° ，設∠BAO=∠CAO=x，

             ∠OBC=∠OCB=y，∴2x+∠BOC=180° ，

             又2y+∠BOC=180° ，∴x=y，故∠OAC=∠OBC，

            ∴∠AOB=∠ACB=90°，∴AO⊥OB.

（2）設∠OBC=x，則x+∠POB=90°,而∠POA+∠POB=90°，∴x=∠POA。

       由（1）知AG=OG，∴x=∠GAM。

       ∠OMB=∠GAM+∠ABM

              =x+∠ABM

              =x+∠PBM

              =∠MBO 。三角形OMB為等腰三角形，OB=OM