Question

如圖所示，已知△ABC內接于⊙O，AD平分∠BAC交BC于點P、交⊙O于點D，連接DB、DC，在AD上取一點I，使DI=DB．
（1）求證：DI²=DP•AD；    
（2）求證：∠ABI=∠CBI；
（3）若⊙O的半徑為

3

，∠BAC=120°，求△BDC的面積？

Answer 1

分析：（1）根據題意可推出∠BAD=∠CBD，即可推出△BDA∽△PDB，所以BD²=AD•DP，即DI²=DP•AD；
（2）根據題意和外角的性質，即可推出∠IBD=∠BID，∠CBI=∠IBD-∠CBD，∠ABI=∠BID-∠BAD，即∠ABI=∠CBI；
（3）根據題意可推出△BCD為等邊三角形，由⊙O的半徑即可推出BC的長度和△BCD的面積．

解答：證明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BDA=∠BDP，
∴△BDA∽△PDB，
∴BD²=AD•DP，
∵DI=DB，
∴DI²=DP•AD；

（2）∵DI=DB，
∴∠IBD=∠BID
∵∠CBI=∠IBD-∠CBD，∠ABI=∠BID-∠BAD，
∴∠ABI=∠CBI；

（3）∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠CAD=60°，
∴∠CBD=∠BCD=60°，
∴△BCD為等邊三角形，
∵⊙O的半徑為

3

，
∴BC=3，
∴S_△BDC=

9 3

4

．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質、圓周角定理，關鍵在于熟練地運用個定理性質，求△BDA∽△PDB，△BCD為等邊三角形．