Question

（2012•密云縣一模）在∠A（0°＜∠A＜90°）的內(nèi)部畫線段，并使線段的兩端點(diǎn)分別落在角的兩邊AB、AC上，如圖所示，從點(diǎn)A₁開始，依次向右畫線段，使線段與線段在兩端點(diǎn)處互相垂直，A₁A₂為第1條線段．設(shè)AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，則∠A=

22.5

°；若記線段A_2n-1A_2n的長度為a_n（n為正整數(shù)），如A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，則此時a₂=

1+

2

，a_n=

（1+

2

）^n-1

（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析：由題意得到△A₁A₂A₃為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠A₂A₁A₃=45°，再由∠A₂A₁A₃為等腰△AA₂A₁的外角，利用外角性質(zhì)即可求出∠A的度數(shù)；由△A₁A₂A₃為等腰直角三角形，A₁A₂=A₂A₃=1，利用勾股定理求出A₁A₃的長，由AA₁+A₁A₃求出AA₃的長，即為A₃A₄的長，可得出a₂的長；同理求出a₃的長，依此類推即可得出a_n的長．

解答：解：∵A₁A₂=A₂A₃，A₁A₂⊥A₂A₃，
∴△A₁A₂A₃為等腰直角三角形，
∴∠A₂A₁A₃=45°，
又AA₁=A₁A₂，
∴∠A=∠AA₂A₁，
又∠A₂A₁A₃為△AA₂A₁的外角，
∴∠A=∠AA₂A₁=

1

2

∠A₂A₁A₃=22.5°；
∵AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，
∴A₁A₂=a₁=1；
在Rt△A₁A₂A₃中，根據(jù)勾股定理得：A₁A₃=

2

，
∴AA₃=A₃A₄=a₂=AA₁+A₁A₃=1+

2

；
同理AA₅=A₅A₆=a₃=AA₃+A₃A₅=1+

2

+

2

（1+

2

）=3+2

2

=（1+

2

）²；
以此類推，a_n=（1+

2

）^n-1．
故答案為：22.5°；1+

2

；（1+

2

）^n-1．

點(diǎn)評：此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及三角形的外角性質(zhì)，屬于規(guī)律型題，鍛煉了學(xué)生歸納總結(jié)的能力，是中考中常考的題型．