【題目】如圖所示,AB為半圓O的直徑,C為圓上一點(diǎn),AD平分∠BAC交半圓于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥AC,DE交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為2,DE= ,求線段AC的長(zhǎng)

【答案】
(1)證明:連接OD,

∵OA=OD,

∴∠OAD=∠ADO,

∵AD平分∠CAD,

∴AE∥OD,

∴∠AED+∠EDO=180°,

∵DE⊥AC,

∴∠EDO=90°,

∴DE是⊙O的切線;


(2)解:連接BC交OD于F,

∵AB為直徑,

∴∠ACB=90°,

∵∠AED=∠EDO=90°,

∴四邊形DECF為矩形,

∴DE=CF= ,∠DFC=90°,

∴OD⊥BC,

∴BC=2CF=2

∵AB=4,

∴AC= =2.


【解析】(1)證切線需要證明該線垂直于過切點(diǎn)的半徑,所以我們首先要連接OD,并進(jìn)一步利用平行線性質(zhì),互補(bǔ)關(guān)系,證明∠EDO=90°
(2)利用垂徑定理結(jié)合矩形性質(zhì)可得DE=CF= ,BC=2CF=2 ,再利用勾股定理易得AC= =2.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】甲、乙兩家快遞公司攬件員(攬收快件的員工)的日工資方案如下:

甲公司為基本工資+攬件提成,其中基本工資為70/日,每攬收一件提成2元;

乙公司無(wú)基本工資,僅以攬件提成計(jì)算工資.若當(dāng)日攬件數(shù)不超過40,每件提成4元;若當(dāng)日攪件數(shù)超過40,超過部分每件多提成2元.

如圖是今年四月份甲公司攬件員人均攬件數(shù)和乙公司攪件員人均攬件數(shù)的條形統(tǒng)計(jì)圖:

(1)現(xiàn)從今年四月份的30天中隨機(jī)抽取1天,求這一天甲公司攬件員人均攬件數(shù)超過40(不含40)的概率;

(2)根據(jù)以上信息,以今年四月份的數(shù)據(jù)為依據(jù),并將各公司攬件員的人均攬件數(shù)視為該公司各攬件員的

攬件數(shù),解決以下問題:

①估計(jì)甲公司各攬件員的日平均件數(shù);

②小明擬到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘攬件員,如果僅從工資收入的角度考慮,請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)幫他選擇,井說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,△ABC中,AE交BC于點(diǎn)D,∠C=∠E,AD:DE=3:5,AE=8,BD=4,求DC的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】乘法公式的探究及應(yīng)用.

(1)如圖1,可以求出陰影部分的面積是 (寫成兩數(shù)平方差的形式);

(2)如圖2,若將陰影部分裁剪下來(lái),重新拼成一個(gè)矩形,它的寬是 ,長(zhǎng)是 ,面積是 (寫成多項(xiàng)式乘法的形式);

(3)比較圖1、圖2兩圖的陰影部分面積,可以得到乘法公式 (用式子表達(dá));

(4)運(yùn)用你所得到的公式,計(jì)算下列各題:

①(2m+n-p)(2m-n+p);②10.3×9.7.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖1,直線MN與直線AB、CD分別交于點(diǎn)E、F,∠1與∠2互補(bǔ).

(1)試判斷直線AB與直線CD的位置關(guān)系,并說明理由;

(2)如圖2,∠BEF與∠EFD的角平分線交于點(diǎn)P,EPCD交于點(diǎn)G,點(diǎn)HMN上一點(diǎn),且GH⊥EG,求證:PF∥GH;

(3)如圖3,在(2)的條件下,連接PH,KGH上一點(diǎn)使∠PHK=∠HPK,作PQ平分∠EPK,問∠HPQ的大小是否發(fā)生變化?若不變,請(qǐng)求出其值;若變化,說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知矩形ABCD的長(zhǎng)和寬分別為16cm和12cm,連接其對(duì)邊中點(diǎn),得到四個(gè)矩形,順次連接矩形AEFG各邊中點(diǎn),得到菱形l1;連接矩形FMCH對(duì)邊中點(diǎn),又得到四個(gè)矩形,順次連接矩形FNPQ各邊中點(diǎn),得到菱形l2;…如此操作下去,則l4的面積是cm2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】(背景介紹)勾股定理是幾何學(xué)中的明珠,充滿著魅力.千百年來(lái),人們對(duì)它的證明趨之若騖,其中有著名的數(shù)學(xué)家,也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者.向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法.

(小試牛刀)把兩個(gè)全等的直角三角形如圖1放置,其三邊長(zhǎng)分別為ab、c.顯然,∠DAB=B=90°,ACDE.請(qǐng)用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、EBC的面積,再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系,可得到勾股定理:

S梯形ABCD= ,

SEBC= ,

S四邊形AECD= ,

則它們滿足的關(guān)系式為 ,經(jīng)化簡(jiǎn),可得到勾股定理.

(知識(shí)運(yùn)用)(1)如圖2,鐵路上A、B兩點(diǎn)(看作直線上的兩點(diǎn))相距40千米,C、D為兩個(gè)村莊(看作兩個(gè)點(diǎn)),ADAB,BCAB,垂足分別為A、BAD=25千米,BC=16千米,則兩個(gè)村莊的距離為 千米(直接填空);

2)在(1)的背景下,若AB=40千米,AD=24千米,BC=16千米,要在AB上建造一個(gè)供應(yīng)站P,使得PC=PD,請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖2中作出P點(diǎn)的位置并求出AP的距離.

(知識(shí)遷移)借助上面的思考過程與幾何模型,求代數(shù)式最小值(0x16

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【題目】如圖,用火柴棒擺出一列正方形圖案,第①個(gè)圖案用了 4 根,第②個(gè)圖案用了 12 根,第③個(gè)圖案用了 24 ,按照這種方式擺下去擺出第⑥個(gè)圖案用火柴棒的根數(shù)是(

A. 84 B. 81 C. 78 D. 76

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖所示,直線l過正方形ABCD的頂點(diǎn)B,點(diǎn)A、C到直線l的距離分別是AE=1,CF=2,則EF長(zhǎng)為

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