Question

已知對(duì)稱軸為y軸的拋物線y=ax²+c，與直線l₁交于A（-4，3）、B（2，0）兩點(diǎn)．經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，-2）的直線l₂與x軸平行，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線l₁和這條拋物線的解析式；
（Ⅱ）以A為圓心，AO為半徑的圓記為⊙A，判斷直線l₂與⊙A的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（Ⅲ）設(shè)直線l₁上的點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-1，P（m，n）是（Ⅰ）中拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PDO的周長(zhǎng)最小時(shí)，求四邊形CODP的面積．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把A（-4，3）、B（2，0）兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得：
，
解得：，
∴直線AB的解析式為y=-x+1，
∵拋物線y=ax²+c，與直線l₁交于A（-4，3）、B（2，0）兩點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y=x²-1；
（2）易知：A（-4，3），則OA==5，
而A到直線l的距離為：3-（-2）=5；
所以⊙A的半徑等于圓心A到直線l的距離，
即直線l₂與⊙A相切；
（3）過(guò)P作PM∥y軸，交直線l₂于M；
則P（m，n），M（m，-2）；
∴PO²=m²+n²，PM²=（n+2）²；
∴n=m²-1，即m²=4n+4；
∴PO²=n²+4n+4=（n+2）²，
即PO²=PM²，PO=PM；
易知D（-1，），則OD的長(zhǎng)為定值；
若△PDO的周長(zhǎng)最小，則PO+PD的值最小；
∵PO+PD=PD+PM≥DM，
∴PD+PO的最小值為DM，
即當(dāng)D、P、M三點(diǎn)共線時(shí)PD+PM=PO+PD=DM；
此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-1，代入拋物線的解析式可得y=-1=-，
即P（-1，-）；
∴S_{四邊形CPDO}=（CO+PD）×|x_D|=×（2++）×1=．
分析：（1）已知A（-4，3）、B（2，0）兩點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式；再把A．B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+c即可求出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)可求出半徑OA的長(zhǎng)，然后判斷A到直線l₂的距離與半徑OA的大小關(guān)系即可；
（3）根據(jù)直線AB的解析式可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到OD的長(zhǎng)，由于OD的長(zhǎng)為定值，若△POD的周長(zhǎng)最小，那么PD+OP的長(zhǎng)最小，可過(guò)P作y軸的平行線，交直線l₂于M；首先證PO=PM，此時(shí)PD+OP=PD+PM，而PD+PM≥DM，因此PD+PM最小時(shí)，應(yīng)有PD+PM=DM，即D、P、M三點(diǎn)共線，由此可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)；此時(shí)四邊形CODP是梯形，根據(jù)C、O、D、P四點(diǎn)坐標(biāo)即可求得上下底DP、OC的長(zhǎng)，而梯形的高為D點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值由此可求出四邊形CODP的面積．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、直線與圓的位置關(guān)系、圖形面積的求法等知識(shí)，還涉及到解析幾何中拋物線的相關(guān)知識(shí)，能力要求極高，難度很大．