Question

【題目】直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)A（1，2），且與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，AD垂直平分OB，垂足為D，

求：（1）直線(xiàn)、雙曲線(xiàn)的解析式．

（2）線(xiàn)段BC的長(zhǎng)；

（3）三角形BOC的內(nèi)心到三邊的距離．

Answer 1

【答案】（1）y=-2x+4，y＝；（2）2；（3）3-．

【解析】

（1）首先根據(jù)待定系數(shù)法確定雙曲線(xiàn)的解析式，然后根據(jù)直線(xiàn)，雙曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，利用一元二次方程的判別式可以確定直線(xiàn)的解析式；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可以確定OB，OC的長(zhǎng)，再利用勾股定理可以確定BC的長(zhǎng)；
（3）根據(jù)（2）結(jié)合內(nèi)切圓的知識(shí)可以得內(nèi)心到三邊的距離．

解：（1）把A（1，2）代入得k2=2，代入y=k1x+b得2=k1+b，
直線(xiàn)y=k1x+b與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)A，
∴y＝=k1x+b，
∴k1x2+bx-2=0
∴根的判別式△=b2-4k1×（-2）=b2+8k1=0，
∴b=4，k1=-2，
∴y=-2x+4，y＝；
（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=4，當(dāng)y=0時(shí)，x=2，
∴B（2，0），C（0，4），
∴BC=2；
（3）如圖，∵OB=2，OC=4，BC=2，

∴根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理得到Rt△OBC的內(nèi)心P到三邊的距離r= （OB+OC-BC）=3-．