Question

已知拋物線y=

1

2

x2-x+k與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
（1）求：k的取值范圍；
（2）設(shè)拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A（-1，0）在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，試判斷△ABD是不是等腰直角三角形？并說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)E在y軸的正半軸上，且以A、O、E為頂點(diǎn)的三角形和以B、O、C為頂點(diǎn)的三角形相似，求：點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，△≥0列出不等式求解即可；
（2）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線求出k值，再求出點(diǎn)B、D的坐標(biāo)，設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為F，求出AF=BF=DF，從而求出∠ADF=∠DAF=∠BDF=∠DBF=45°，即可得到△ABD是等腰直角三角形；
（3）分OA和OB是對(duì)應(yīng)邊，OA和OC是對(duì)應(yīng)邊兩種情況，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OE的長(zhǎng)度，再根據(jù)點(diǎn)E在y軸正半軸寫出坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=

1

2

x²-x+k與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△=b²-4ac=（-1）²-4×

1

2

k＞0，
解得k＜

1

2

；

（2）△ABD是等腰直角三角形．
理由如下：將點(diǎn)A（-1，0）代入拋物線y=

1

2

x²-x+k得，

1

2

×（-1）²-（-1）+k=0，
解得k=-

3

2

，
∴y=

1

2

x²-x-

3

2

，
令y=0，則

1

2

x²-x-

3

2

=0，
整理得，x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴點(diǎn)B（3，0），
∵y=

1

2

x²-x-

3

2

=

1

2

（x-1）²-2，
∴點(diǎn)D（1，-2），
設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為F，
則AF=BF=DF=2，
∴∠ADF=∠DAF=∠BDF=∠DBF=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形；

（3）∵（3，0），C（0，-

3

2

），
∴OB=3，OC=

3

2

，
OA和OB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，△BOC∽△AOE，
∴

OA

OB

=

OE

OC

，
即

1

3

=

OE

3 2

，
解得OE=

1

2

，
此處，點(diǎn)E₁（0，

1

2

），
OA和OC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，△BOC∽△EOA，
∴

OA

OC

=

OE

OB

，
即

1

3 2

=

OE

3

，
解得OE=2，
此時(shí)，點(diǎn)E₂（0，2），
綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，

1

2

）或（0，2）時(shí)，以A、O、E為頂點(diǎn)的三角形和以B、O、C為頂點(diǎn)的三角形相似．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，等腰直角三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于（3）要分情況討論．