Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線(xiàn)CD與⊙O相切于點(diǎn)C，AC平分∠DAB．

1.求證：AD⊥DC

2.若，， 求的值以及AB的長(zhǎng)．

 

Answer 1

 

1.連接OC

∵OC=OA

∴∠CAO=∠OCA             ---------------------------------1分

又∵CD與圓O相切

∴∠OCD=90°

即∠OCA+∠DCA=90°

∴∠CAO+∠DCA=90°

又∵AC平分∠DAB

∴∠DAC=∠CAO

∴∠DAC+∠DCA=90°

∴∠ADC=90°

即AD⊥DC                 ---------------------------------4分

2.連接BC

∵AD⊥DC∴

因?yàn)锳B為圓O的直徑

∴∠ACB=90°

∴∠ADC=∠ACB=90°

又∵∠DAC=∠CAO

∴△ADC∽△ACB

∴即    

∴                        ---------------------------------2分

       ---------------------------------3分   

解析:（1）連接OC，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到OC與CD垂直，進(jìn)而得到∠OCA+∠DCA=90°，由AC為角平分線(xiàn)，根據(jù)角平分線(xiàn)定義得到兩個(gè)角相等，又OA=OC，根據(jù)等邊對(duì)等角得到又得到另兩個(gè)角相等，等量代換后得到∠DAC=∠OCA，根據(jù)等角的余角相等得到∠DCA+∠DAC=90°，從而得到∠ADC為直角，得證；

（2）先用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，再利用△ADC∽△ACB求出AB的長(zhǎng)度，然后利用直角三角形的性質(zhì)求出的值.