Question

已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內(nèi)．將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內(nèi)的點C處．

（1）求點C的坐標；

（2）若拋物線經(jīng)過C、A兩點，求此拋物線的解析式；

（3）若上述拋物線的對稱軸與OB交于點D，點P為線段DB上一動點，過P作y軸的平行線，交拋物線于點M，問：是否存在這樣的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（，3）（2）（3）存在，（，）

【解析】解：（1）過C作CH⊥OA于H，

∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，∴OA=。

∵將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內(nèi)的點C處，

∴OC=OA=，∠AOC=60°。

∴OH=，CH=3 。

∴C的坐標是（，3）。  

（2）∵拋物線經(jīng)過C（，3）、A（，0）兩點，

    ∴，解得�！啻藪佄锞€的解析式為

（3）存在。

∵的頂點坐標為（，3），即為點C。

                 MP⊥x軸，設垂足為N，PN＝t，

∵∠BOA＝30⁰，所以ON＝

  ∴P（）

   作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E。

把代入得：。

                ∴ M（，），E（，）。

                同理：Q（，t），D（，1）。

                要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE＝QD，

                即，解得：，（舍去）。

                ∴ P點坐標為（，）。

                ∴ 存在滿足條件的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點的坐為（，）。

（1）過C作CH⊥OA于H，根據(jù)折疊得到OC=OA=4，∠A0C=60°，求出OH和CH即可。

（2）把C（，3）、A（，0）代入得到方程組，求出方程組的解即可。

（3）如圖，根據(jù)等腰梯形的判定，只要CE＝QD即可，據(jù)此列式求解。