Question

如圖，OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，OA=9，OC=15，將矩形紙片OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形OA₁B₁C₁．將矩形OA₁B₁C₁折疊，使得點(diǎn)B₁落在x軸上，并與x軸上的點(diǎn)B₂重合，折痕為A₁D．
（1）求點(diǎn)B₂的坐標(biāo)；
（2）求折痕A₁D所在直線的解析式；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得∠BPB₁為直角？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)Rt△A₁OB₂中，OB2=

A1 B 2 2 -O A 2 1

=12，可得點(diǎn)B₂坐標(biāo)為（12，0）；
（2）B₂C₂=15-12=3，DC₁=m，則B₁D=9-m，因?yàn)锽₁D=B₂D，所以

m2+9

=9-m，解得m=4，即D點(diǎn)的坐標(biāo)為（15，4），設(shè)折痕A₁D所在直線的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法可解得，折痕A₁D所在直線的解析式為y=-

1

3

x+9；
（3）假設(shè)存在P點(diǎn)，可證明△BAP∽△PC₁B₁，得

AB

C1P

=

AP

C1B1

，設(shè)PC₁的長(zhǎng)為m，所以

15

m

=

24-m

9

，解得m₁=15或m₂=9，故當(dāng)PC₁=15時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）；當(dāng)PC₁=9時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）．

解答：解：（1）由條件知，B₂A₁=B₁A₁=BA=15，A₁O=B₁C₁=BC=9，
∴在Rt△A₁OB₂中，OB2=

A1 B 2 2 -O A 2 1

=12
∴點(diǎn)B₂坐標(biāo)為（12，0）；

（2）B₂C₂=15-12=3，DC₁=m，則B₁D=9-m，
∵B₁D=B₂D，
∴

m2+9

=9-m，
解得m=4，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（15，4），
又A₁（0，9），
設(shè)折痕A₁D所在直線的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴

9=b 4=15k+b

，
解得

k=- 1 3 b=9

，
即折痕A₁D所在直線的解析式為y=-

1

3

x+9．

（3）假設(shè)存在P點(diǎn)，
∵∠BPA+∠BPB₁+∠B₁PC₁=180°，∠BPB₁=90°，
∴∠BPA+∠B₁PC₁=90°，
∵∠BAP=90°，∠ABP+∠BPA=90°，
∴∠ABP=∠B₁PC₁．
在△BAP和△PC₁B₁中，

∠ABP=∠B1PC1 ∠BAP=∠PC1B1=90°

，
∴△BAP∽△PC₁B₁．
∴

AB

C1P

=

AP

C1B1

，
∵AB=15，C₁B₁=9，AC₁=24，設(shè)PC₁的長(zhǎng)為m，
∴

15

m

=

24-m

9

，
解得m₁=15或m₂=9．
經(jīng)檢驗(yàn)m₁=15或m₂=9是方程的兩根，
當(dāng)PC₁=15時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）；
當(dāng)PC₁=9時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）．
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（6，0）．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象上點(diǎn)的意義和相似三角形的性質(zhì)來(lái)表示相應(yīng)的線段之間的關(guān)系，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請(qǐng)注意體會(huì)．