Question

（2013•本溪三模）如圖，△ABC內接于⊙O，點D在OC的延長線上，sinB=

1

2

，∠CAD=30°．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若OD⊥AB，BC=10，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OA，由sinB的值利用特殊角的三角函數值求出∠B的度數，再利用同弧所對的圓周角等于圓心角的一半求出∠AOC為60°，根據OA=OC，得到三角形AOC為等邊三角形，確定出∠OAC為60°，根據∠CAD度數，由∠OAC+∠CAD=90°，確定出AD垂直于OA，即可得證；
（2）由OD垂直于AB，利用垂徑定理得到C為弧AB中點，確定出AC=BC=10，由三角形AOC為等邊三角形得到OA=10，由tan∠AOD求出AD的長，根據陰影部分面積=三角形OAD面積-扇形AOC面積，求出即可．

解答：解：（1）連接OA，
∵sinB=

1

2

，∴∠B=30°，
∵∠AOD與∠B都對弧AC，
∴∠AOD=2∠B=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC為等邊三角形，
∴∠OAC=60°，
∴∠CAD=30°，
∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=90°，
則AD為圓O的切線；

（2）∵OD⊥AB，
∴OC垂直平分AB，
∴AC=BC=10，
由（1）得到△AOC為等邊三角形，
∴OA=AC=10，
在Rt△OAD中，tan∠AOD=

AD

OA

，即AD=10

3

，
則S_陰影=S_△AOD-S_扇形AOC=

1

2

×10×10

3

-

60π×102

360

=50

3

-

50π

3

．

點評：此題考查了切線的性質，等邊三角形的判定與性質，銳角三角函數定義，圓周角定理，垂徑定理，以及扇形面積求法，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．