Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AD平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)B是⊙O的切線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）用尺規(guī)作圖找到點(diǎn)E的位置（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）
（2）求證：DE是⊙O的切線；
（3）若DE=

3

，⊙O的半徑為2，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）用直尺延長(zhǎng)AC，過(guò)點(diǎn)D向AC作垂線段和延長(zhǎng)線的交點(diǎn)即為點(diǎn)E；
（2）由AD平分∠BAC，得到∠1=∠2，而OD=OA，∠2=∠3，所以∠1=∠3，則有OD∥AE，而DE⊥AC，所以O(shè)D⊥DE；
（3）過(guò)D作DP⊥AB，P為垂足，過(guò)O作OH⊥AD，H為垂足，分別求出三角形ABF和三角形AOD以及扇形DOB的面積，利用S_陰影=

1

2

AB•BF-S_△AOD-S_扇形DOB求解即可．

解答：（1）解：如圖所示：

（2）證明：連OD，如圖，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
又∵OD=OA，得∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AE∥0D
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°
∴∠ODE=90°
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（3）解：過(guò)D作DP⊥AB，P為垂足，過(guò)O作OH⊥AD，H為垂足，
∵AD為∠BAC的平分線，DE=

3

，
∴DP=DE=3，又⊙O的半徑為，
在Rt△OPD中，OD=2，DP=

3

，得OP=1，則AP=3，
∵BF⊥AB，
∴DP∥FB，
∴

DP

FB

=

AP

AB

，
∴BF=

4 3

3

，
∴tan∠FAB=

4 3 3

4

=

3

3

，
∴∠FAB=30°，
∴∠AOD=120°，∠DOB=60°，
∴S_△AOD=

AD•OH

2

=

2 3 ×1

2

=

3

，
∴S_扇形DOB=

60π×2 2

360

=

2π

3

，
∴S_陰影=

1

2

AB•BF-S_△AOD-S_扇形DOB=

1

2

×4×

4 3

3

-

3

-

2π

3

=

8 3

3

-

3

-

2π

3

，
=

5 3

3

-

2π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及扇形面積的計(jì)算．比較復(fù)雜，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合解答．