Question

（2001•河北）如圖，在菱形ABCD中，AB=10，∠BAD=60度．點(diǎn)M從點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長的速度沿著AD邊向點(diǎn)D移動；設(shè)點(diǎn)M移動的時(shí)間為t秒（0≤t≤10）．
（1）點(diǎn)N為BC邊上任意一點(diǎn)，在點(diǎn)M移動過程中，線段MN是否一定可以將菱形分割成面積相等的兩部分并說明理由；
（2）點(diǎn)N從點(diǎn)B（與點(diǎn)M出發(fā)的時(shí)刻相同）以每秒2個(gè)單位長的速度沿著BC邊向點(diǎn)C移動，在什么時(shí)刻，梯形ABNM的面積最大并求出面積的最大值；
（3）點(diǎn)N從點(diǎn)B（與點(diǎn)M出發(fā)的時(shí)刻相同）以每秒a（a≥2）個(gè)單位長的速度沿著射線BC方向（可以超越C點(diǎn)）移動，過點(diǎn)M作MP∥AB，交BC于點(diǎn)P．當(dāng)△MPN≌△ABC時(shí)，設(shè)△MPN與菱形ABCD重疊部分的面積為S，求出用t表示S的關(guān)系式，井求當(dāng)S=0時(shí)的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）菱形被分割成面積相等的兩部分，那么分成的兩個(gè)梯形的面積相等，而兩個(gè)梯形的高相等，只需上下底的和相等即可．
（2）易得菱形的高，那么用t表示出梯形的面積，用t的最值即可求得梯形的最大面積．
（3）易得△MNP的面積為菱形面積的一半，求得不重合部分的面積，讓菱形面積的一半減去即可．
解答：解：（1）設(shè)：BN=a，CN=10-a（0≤a≤10）
因?yàn)�，點(diǎn)M從點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長的速度沿著AD邊向點(diǎn)D移動，點(diǎn)M移動的時(shí)間為t秒（0≤t≤10）
所以，AM=1×t=t（0≤t≤10），MD=10-t（0≤t≤10）．
所以，梯形AMNB的面積=（AM+BN）×菱形高÷2=（t+a）×菱形高÷2；
梯形MNCD的面積=（MD+NC）×菱形高÷2=[（10-t）+（10-a）]×菱形高÷2
當(dāng)梯形AMNB的面積=梯形MNCD的面積時(shí)，
即t+a=10，（0≤t≤10），（0≤a≤10）
所以，當(dāng)t+a=10，（0≤t≤10），（0≤a≤10）時(shí)，可出現(xiàn)線段MN一定可以將菱形分割成面積相等的兩部分．

（2）點(diǎn)N從點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長的速度沿著BC邊向點(diǎn)C移動，設(shè)點(diǎn)N移動的時(shí)間為t，可知0≤t≤5，
因?yàn)锳B=10，∠BAD=60°，所以菱形高=5，
AM=1×t=t，BN=2×t=2t．
所以梯形ABNM的面積=（AM+BN）×菱形高÷2=3t×5×=t（0≤t≤5）．
所以當(dāng)t=5時(shí)，梯形ABNM的面積最大，其數(shù)值為．

（3）當(dāng)△MPN≌△ABC時(shí)，
則△ABC的面積=△MPN的面積，則△MPN的面積為菱形面積的一半為25；
因?yàn)橐�全等必有MN∥AC，
∴N在C點(diǎn)外，所以不重合處面積為×（at-10）²×
∴重合處為S=25-，
當(dāng)S=0時(shí)，即PM在CD上，
∴a=2．
點(diǎn)評：本題考查了菱形以及相應(yīng)的三角函數(shù)的性質(zhì)，注意使用兩條平行線間的距離相等等條件．