Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，連接DE，DE的延長(zhǎng)線與邊BC相交于點(diǎn)F，AG∥BC，交DE于點(diǎn)G，連接AF、CG．
（1）求證：AF=BF；
（2）如果AB=AC，求證：四邊形AFCG是正方形．

Answer 1

證明：（1）∵AD=CD，點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，
∴DE⊥AC．
即得DE是線段AC的垂直平分線．
∴AF=CF．
∴∠FAC=∠ACB．
在Rt△ABC中，由∠BAC=90°，
得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°．
∴∠B=∠BAF．
∴AF=BF．

（2）∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE．
又∵點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，∴AE=CE．
在△AEG和△CEF中，
，
∴△AEG≌△CEF（AAS）．
∴AG=CF．
又∵AG∥CF，∴四邊形AFCG是平行四邊形．
∵AF=CF，∴四邊形AFCG是菱形．
在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF．
即得點(diǎn)F是邊BC的中點(diǎn)．
又∵AB=AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC=90°．
∴四邊形AFCG是正方形．
分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AF=CF，再根據(jù)等角的余角相等可得∠B=∠BAF，所以AF=BF．
（2）由AAS可證△AEG≌△CEF，所以AG=CF．由一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得四邊形AFCG是平行四邊形，進(jìn)而證得四邊形AFCG是菱形，最后根據(jù)有一個(gè)角為直角的菱形是正方形得證四邊形AFCG是正方形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是正方形的判定方法，考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用，判別一個(gè)四邊形是正方形主要是根據(jù)正方形的定義及其性質(zhì)．