Question

9．問題情境：如圖將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點B恰好落在AD邊的中點F處，折痕EG分別交AB、CD于點E、G，F(xiàn)N與DC交于點M，連接BF交EG于點P．
獨(dú)立思考：
（1）AE=3cm，△FDM的周長為16cm；
（2）猜想EG與BF之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
拓展延伸：
如圖2，若點F不是AD的中點，且不與點A、D重合：
①△FDM的周長是否發(fā)生變化，并證明你的結(jié)論．
②判斷（2）中的結(jié)論是否仍然成立，若不成立請直接寫出新的結(jié)論（不需證明）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形勾股定理即可得出結(jié)論，
（2）利用三角形相似對邊比例關(guān)系計算出三角形各邊長即可計算出結(jié)果，
①根據(jù)題意，利用三角形全等即可證明結(jié)論，②根據(jù)勾股定理得出AE，然后利用全等三角形得出AF、AK，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）設(shè)AE=x，則EF=8-x，AF=4，∠A=90°，4²+x²=（8-x）²，x=3，

∴AE=3cm，EF=5cm，EG=BF，
∵∠MFE=90°，
∴∠DFM+∠AFE=90°，
又∵∠A=∠D=90°，∠AFE=∠DMF，
∴△AEF∽△DFM，
∴$\frac{EF}{FM}=\frac{AE}{DF}=\frac{AF}{DM}$，
又∵AE=3，AF=DF=4，EF=5，
∴$\frac{5}{FM}=\frac{3}{4}，F(xiàn)M=\frac{20}{3}，\frac{3}{4}=\frac{4}{DM}，DM=\frac{16}{3}$，
∴△FMD的周長=4+$\frac{20}{3}$+$\frac{16}{3}$=16，
故答案為：3，16；
（2）作GH⊥AB于H．
由題意BF⊥GE，EG=BF，
則∠EGH+∠GEB=90°，
由折疊知，點B、F關(guān)于直線GE所在直線對稱，

∴∠FBE=∠EGH，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠C=∠ABC=90°，
四邊形GHBC是矩形，
∴GH=BC=AB，
∴△AFB≌△HEG，
∴BF=EG；
①△FDM的周長不發(fā)生變化，
由折疊知∠EFM=∠ABC=90°，
∴∠DFM+∠AFE=90°，
∵四邊形ABCD為正方形，∠A=∠D=90°，
∴∠DFM+∠DMF=90°，
∴∠AFE=∠DMF，
∴△AEF∽△DFM，
∴$\frac{△FMD的周長}{△AEF的周長}=\frac{FD}{AE}$，
設(shè)AF為x，F(xiàn)D=8-x，
∴x²+AE²=（8-AE）²，
解得：$AE=\frac{64-{x}^{2}}{16}$，
∴$\frac{△FMD的周長}{x+AE+8-AE}=\frac{8-x}{AE}$，
∴FMD的周長=$\frac{（8-x）（8+x）}{\frac{64-{x}^{2}}{16}}=\frac{16（64-{x}^{2}）}{64-{x}^{2}}=16$，
∴△FMD的周長不變，
②由折疊知∠FBE=∠EGH，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠C=∠ABC=90°，
四邊形GHBC是矩形，
∴GH=BC=AB，
∴△AFB≌△HEG，
∴BF=EG，
所以（2）中結(jié)論成立．

點評 本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，需要注意的是：旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變，難度較大．