Question

7．在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（a，0），（0，b），其中a，b滿足$\sqrt{a-2b-18}$+|2a-5b-30|=0．將點B向右平移26個單位長度得到點C，如圖①所示．
（1）求點A，B，C的坐標；
（2）點M，N分別為線段BC，OA上的兩個動點，點M從點C向左以1.5個單位長度/秒運動，同時點N從點O向點A以2個單位長度/秒運動，如圖②所示，設運動時間為t秒（0＜t＜15）．
①當CM＜AN時，求t的取值范圍；
②是否存在一段時間，使得S_{四邊形MNOB}＞2S_{四邊形MNAC}？若存在，求出t的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由條件可求得a、b的值，則可求得A、B兩點的坐標，再由平移可求得C點坐標；
（2）①用t可分別表示出CM和AN，由條件可得到關于t不等式，可求得t的取值范圍；②用t表示出四邊形MNOB和四邊形MNAC的面積，由條件得到t的不等式，再結合t的取值范圍進行判定即可．

解答 解：
（1）∵$\sqrt{a-2b-18}$+|2a-5b-30=0，且$\sqrt{a-2b-18}$≥0，|2a-5b-30|≥0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2b-18=0}\\{2a-5b-30=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=30}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴A（30，0），B（0，6），
又∵點C是由點B向右平移26個單位長度得到，
∴C（26，6）；
（2）①由（1）可知：OA=30，
∵點M從點C向右以1.5個單位長度/秒運動，點N從點O向點A以2個單位長度/秒運動，
∴CM=1.5t，ON=2t，
∴AN=30-2t
∵CM＜AN，
∴1.5t＜30-2t，解得t＜$\frac{60}{7}$，而0＜t＜15，
∴0＜t＜$\frac{60}{7}$；
②由題意可知CM=1.5t，ON=2t，
∴BM=BC-CM=26-1.5t，AN=30-2t，
又B（0，6），
∴OB=6，
∴S_{四邊形MNOB}=$\frac{1}{2}$OB（BM+ON）=3（26-1.5t+2t）=3（26+0.5t），S_{四邊形MNAC}=$\frac{1}{2}$OB（AN+CM）=3（30-2t+1.5t）=3（30-0.5t），
當S_{四邊形MNOB}＞2S_{四邊形MNAC}時，則有3（26+0.5t）＞2×3（30-0.5t），解得t＞$\frac{68}{3}$＞15，
∴不存在使S_{四邊形MNOB}＞2S_{四邊形MNAC}的時間段．

點評 本題為動態(tài)幾何問題，涉及知識點有非負數的性質、平移的性質、梯形的面積等．在（1）中求得a、b的值是解題的關鍵，在（2）中用t表示出相應線段的長度是解題的關鍵．本題考查知識點相對較少，難度不大．