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3.如圖所示,拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))與y軸交于C點(diǎn),且OA:OC=1:3,S△ABC=6.
(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)D(點(diǎn)C除外),使S△ABD=S△ABC?若存在,求出D點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
(3)拋物線上是否存在一點(diǎn)E(點(diǎn)B除外),使S△ACE=S△ABC?若存在,求出E點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

分析 (1)根據(jù)三角形的面積,可得AB的長(zhǎng),根據(jù)線段的和差,可得B點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)平行線間的距離相等,可得D點(diǎn)的縱坐標(biāo),根據(jù)函數(shù)值,可得答案;
(3)根據(jù)平行線的一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)相等,可得BE的解析式,根據(jù)解方程組,可得E點(diǎn)坐標(biāo).

解答 解:(1)當(dāng)x=0時(shí),y=3,即OC=3.
由OA:OC=1:3,
解得OA=1,即A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0).
由S△ABC=12AB•OC=6,
解得AB=4.-1+4=3,
即B(3,0).
將A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得{ab+3=09a+3b+3=0,
解得{a=1b=2,
拋物線的解析式為y=-x2+2x+3;
(2)如圖1:,
根據(jù)平行線間的距離相等,可得D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3或-3.
當(dāng)y=3時(shí),-x2+2x+3=3,解得x=0(不符合題意,舍),x=2,
即D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3);
當(dāng)y=-3時(shí),-x2+2x+3=-3.
解得x=1-7,x=1+7,
即D點(diǎn)坐標(biāo)為(1-7,-3),(1+7,-3);
綜上所述:拋物線上存在一點(diǎn)D(點(diǎn)C除外),使S△ABD=S△ABC,D點(diǎn)坐標(biāo)(2,3),(1-7,-3),D(1+7,-3);
(3)過(guò)點(diǎn)B作AC平行線,如圖2,
S△ACE=S△ABC,由平行線間的距離相等,得
設(shè)AC的函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b,將A、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得
{k+b=0b=3,
解得{k=3b=3
函數(shù)解析式為y=3x+3,
由BE∥AC,設(shè)BE的解析式為y=3x+b,將B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得
3×3+b=0.
解得b=-9,
即BE的解析式為y=3x-9,
聯(lián)立BE與拋物線,得
{y=3x9y=x2+2x+3,
解得x=-4,x=3(不符合題意,舍),
當(dāng)x=-4時(shí),y=3×(-4)-9=-21,
即E(-4.-21).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)解析式,利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,利用平行線間的距離相等得出D點(diǎn)的縱坐標(biāo)是解題關(guān)鍵;利用平行線間的關(guān)系得出BE的解析式是解題關(guān)鍵.

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