【題目】如圖（1），在矩形ABCD中，BC=8，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，且BP=3，點(diǎn)E是線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△PCE沿PE折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)F恰好落在AB上．

（1）求CD的長(zhǎng)；

（2）若點(diǎn)F剛好落在線段AD的垂直平分線上時(shí)，求線段CE的長(zhǎng)；

（3）請(qǐng)直接寫出AF的最小值.

【答案】（1）10；（2）y=(或)；（3）.

【解析】

如圖1中，設(shè)CD=x，由折疊可知：,在RT△PBF中，求得AF=x-4，在RT△AFD中，根據(jù)AD2+AF2=DF2，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．

如下圖2所示，MN是線段AD的中垂線，作FG⊥CD于H．設(shè)CE=y，根據(jù)RT△PNF，求得FN=, CG=FN,GE=-y，在RT△GEF中，根據(jù)FG2+GE2=EF2，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．

要使AF最小，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、F、P在同一直線上.

（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，如圖

設(shè)CD=x，

由折疊可知：DF=DC=x, PC=PF=5,

在RT△PBF中，

BF=

則 AF=x-4，

在RT△AFD中，∠A=90°

由AD2+AF2=DF2

得

解得：x=10,即CD=10.

（2）當(dāng)點(diǎn)F落在AD得中垂線MN上時(shí)，

作FG⊥DC于點(diǎn)G，則FG=4，

在RT△PNF中，

FN=

設(shè)CE=y，∵CG=FN=，

∴GE=-y，

在RT△GEF中，由FG2+GE2=EF2

得：42+（-y）2=y2

解之得：y=(或)

要使AF最小，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、F、P在同一直線上

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，AC是矩形ABCD的對(duì)角線，過(guò)AC的中點(diǎn)O作EF⊥AC，交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，連接AE，CF．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若AB= ，∠DCF=30°，求四邊形AECF的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn)，E在BC的延長(zhǎng)線上，且BD＝DE．

（1）如圖，若點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，求證：AD＝CE；

（2）如圖，若點(diǎn)D為線段AC上任意一點(diǎn)，求證：AD＝CE.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校在基地參加社會(huì)實(shí)踐話動(dòng)中，帶隊(duì)老師考問(wèn)學(xué)生：基地計(jì)劃新建一個(gè)矩形的生物園地，一邊靠舊墻（墻足夠長(zhǎng)），另外三邊用總長(zhǎng)37米的不銹鋼柵欄圍成，與墻平行的一邊留一個(gè)寬為3米的出入口，如圖所示，如何設(shè)計(jì)才能使園地的面積最大？如圖是兩位學(xué)生爭(zhēng)議的情境：請(qǐng)根據(jù)上面的信息，解決問(wèn)題：

（1）設(shè)AB=x米（x＞0），試用含x的代數(shù)式表示BC的長(zhǎng)；
（2）請(qǐng)你判斷誰(shuí)的說(shuō)法正確，為什么？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】野營(yíng)活動(dòng)中，小明用一張等腰三角形的鐵皮代替鍋，烙一塊與鐵皮形狀、大小相同的餅，烙好一面后把餅翻身，這塊餅?zāi)苷寐湓凇板仭敝校←愑形鍙埲切蔚蔫F皮（如圖所示），她想選擇其中的一張鐵皮代替鍋，烙一塊與所選鐵皮形狀、大小相同的餅．

（1）五張鐵皮中，用序號(hào)為_______的鐵皮烙餅，不用刀切即可翻身正好落在“鍋”中；

（2）在余下的鐵皮中選出只需要切一刀（沿直線切餅，下同），然后把兩小塊餅都翻身，它們正好也能落在“鍋”中的鐵皮，畫出切割線，標(biāo)上角的度數(shù)．

（3）小明最后拿到的是一張圖形的三角形鐵皮，它既不是等腰三角形又不是直角三角形，也不知道各個(gè)角的度數(shù)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出刀痕的位置（不超過(guò)3刀），也能使餅翻身后正好落在“鍋”中．（不要寫畫法，但要用適當(dāng)?shù)挠浱?hào)或文字作簡(jiǎn)要說(shuō)明）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+mx+n與x軸交于A，B兩點(diǎn)，y與軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D．已知A（﹣1，0），C（0，3）

（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在P點(diǎn)，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形，如果存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，
①求直線BC 的解析式；
②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

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【題目】如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=CD=6cm，BC=10cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/秒的速度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒：

（1）PC=______cm．（用t的代數(shù)式表示）

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△ABP≌△DCP？

（3）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以v cm/秒的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，是否存在這樣v的值，使得△ABP與△PQC全等？若存在，請(qǐng)求出v的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．

（1）求證：AF=DC；

（2）若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．

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