Question

若函數當a≤x≤b時的最小值為2a，最大值為2b，求a、b的值．

Answer 1

解：函數的頂點是（0，），對稱軸是y軸，最大值為，如右圖，
（1）當a＜b≤0時，x=a時有最小值2a，x=b時有最大值2b，于是
-a²+=2a，
-b²+=2b，
可知a、b是方程-x²+=2x的兩個根，
即3x²+12x-26=0，由于△＞0，x₁x₂=-，
此方程有一正一負兩個根，這與a＜b≤0矛盾，故此情況舍去；

（2）當a≤0＜b時，x=0時有最大值=2b，
解得b=，
x=b時有最小值2a，
即-×（）²+=＞0，而2a≤0，矛盾，
所以只能是x=a時取最小值，
（-）a²+=2a，
3a²+12a-26=0 a=＜0，符合條件，

（3）若0＜a＜b，顯然有 （-）a²+=2b①，
-b²+=2a②，
①-②得：（-）（a-b）（a+b）=2（b-a），
則 a+b=4，
b=4-a，代入①得：（-）a²+=2（4-a），
3a²-12a+22=0，
∵△＜0，
∴此方程無實數根，故此情況舍去．
故有一組解符合要求：a=，b=．
分析：根據二次函數的增減性以及當a＜b≤0時，當a≤0＜b時，若0＜a＜b時分別得出a，b的值即可．
點評：此題主要考查了二次函數的最值求法，根據自變量的取值范圍分別將a，b代入求出是解題關鍵．