Question

如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點O為AD上一動點（4＜OA＜8），以O為圓心，OA的長為半徑的圓交邊CD于點M，連接OM，過點M作⊙O的切線交邊BC于N．
（1）求證：△ODM∽△MCN；
（2）設DM=x，OA=R，求R關于x的函數(shù)關系式；
（3）在動點O逐漸向點D運動（OA逐漸增大）的過程中，△CMN的周長如何變化？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切線的性質得出∠OMN=90，從而證得∠OMD=∠MNC；則△ODM∽△MCN；
（2）由DM=x，設OA=OM=R；則得出OD，由勾股定理得R與x的關系；
（3）可分為兩種解法得出答案．由△ODM∽△MCN，得，用含x的式子表示出CN，MN，從而得出△CMN的周長是一個定值．
解答：（1）證明：∵MN切⊙O于點M，
∴∠OMN=90°；（1分）
∵∠OMD+∠CMN=∠OMN=90°，
∴∠OMD+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°；
∴∠OMD=∠MNC；（2分）
又∵∠D=∠C=90°；
∴△ODM∽△MCN；（3分）

（2）解：在Rt△ODM中，DM=x，設OA=OM=R；
∴OD=AD-OA=8-R，（4分）
由勾股定理得：（8-R）²+x²=R²，（5分）
∴64-16R+R²+x²=R²，
∴；（6分）

（3）解法一：∵CM=CD-DM=8-x，
又∵
且有△ODM∽△MCN，
∴，
∴代入得到；（7分）
同理，
∴代入得到；（9分）
∴△CMN的周長為P==（8-x）+（x+8）=16．（11分）
在點O的運動過程中，△CMN的周長P始終為16，是一個定值．（12分）
解法二：在Rt△ODM中，，
設△ODM的周長P′=；（7分）
而△MCN∽△ODM，且相似比；（9分）
∵，
∴△MCN的周長為P=．（11分）
在點O的運動過程中，△CMN的周長P始終為16，是一個定值．（12分）
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、勾股定理、正方形的性質以及切線的性質，是一道綜合題，難度較大．