Question

如圖①，將一個內角為120°的菱形紙片沿較長對角線剪開，得到圖②的兩張全等的三角形紙片．將這兩張三角形紙片擺放成圖③的形式．點B、F、C、D在同一條直線上，AB分別交DE、EF于點P、M，AC交DE于點N．
（1）求證：△APN≌△EPM．
（2）連接CP，試確定△CPN的形狀，并說明理由．
（3）當P為AB的中點時，求△APN與△DCN的面積比．

Answer 1

【答案】分析：（1）我們可以利用菱形的性質及全等三角形的判定方法AAS判定△APN≌△EPM．
（2）△CPN的形狀是直角三角形，利用等腰三角形的性質：三線合一以及已知條件證明∠CNP=90°即可；
（3）要求△APN與△DCN的面積比，我們可以根據(jù)菱形的性質及已知，得到PN：CN=，根據(jù)相似三角形的判定，得到△ANP∽△DNC，即△APN與△DCN的面積比為3：1．
解答：（1）
證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠A=∠B=∠D=∠E，
∴PB=PD．
∵AB=DE，
∴PA=PE．
∵∠EPM=∠APN，
在△APN和△EPM中，
，
∴△APN≌△EPM；

（2）連接CP．
∵∠ACB=∠DFE=120°，AC=BC=DF=FE，
∴∠D=∠A=∠B=30°．
∴∠APN=60°．
∴∠CNP=90°，
∴△CPN的形狀是直角三角形；
（3）由（2）可知∠APN=60°，∠CNP=90°，
∴∠CPN=30°．
∴PN：CN=：1，
∵∠D=∠A，∠ANP=∠DNC，
∴△ANP∽△DNC．
∴S_△ANP：S_△DNC=PN²：CN²=3：1．
即△APN與△DCN的面積比為3：1．
點評：此題考查了學生對全等三角形的判定、等腰三角形的性質、菱形的性質及相似三角形的判定等知識點的掌握情況．