Question

如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BD=6，求DC的長和△ABC的面積（結果保留根號）．

Answer 1

分析：由AD垂直于BC，得到三角形ABD與三角形ADC都為直角三角形，再由∠B=45°，得到三角形ABD為等腰直角三角形，即AD=BD，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，求出AC的長，利用勾股定理求出DC的長，再由BD+DC求出BC的長，利用三角形的面積公式求出三角形ABC面積即可．

解答：解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB中，∠B+∠BAD=90°，
又∵∠B=45°，
∴∠B=∠BAD=45°，
∴AD=BD=6，
在Rt△ADC中，∠C=30°，
∴AC=2AD=12，
∴CD=

AC2-AD2

=

122-62

=6

3

，BC=BD+DC=6+6

3

，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×（6+6

3

）×6=18+18

3

．

點評：此題考查了勾股定理，含30度直角三角形的性質，以及等腰三角形的判定與性質，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．