Question

（Ⅰ）如圖1，在正方形ABCD內，已知兩個動圓⊙O₁與⊙O₂互相外切，且⊙O₁與邊AB、AD相切，⊙O₂與邊BC、CD相切．若正方形ABCD的邊長為1，⊙O₁與⊙O₂的半徑分別為r₁，r₂．
①求r₁與r₂的關系式；
②求⊙O₁與⊙O₂面積之和的最小值．
（Ⅱ）如圖2，若將（Ⅰ）中的正方形ABCD改為一個寬為1，長為

3

2

的矩形，其他條件不變，則⊙O₁與⊙O₂面積的和是否存在最小值，若不存在，請說明理由；若存在，請求出這個最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）①連接AC，根據正方形的性質可知，AC平分∠BAD、∠BCD，而AB、AD為⊙O₁的切線，BC、CD為⊙O₂的切線，故O₁與O₂在AC上，解等腰直角三角形得AO1=

2

r1，CO2=

2

r2，AC=

2

，由兩圓外切得O₁O₂=r₁+r₂，由AO₁+O₁O₂+O₂C=AC，列方程求關系式；
②由面積之和S=π（r₁²+r₂²）及r1+r2=2-

2

，換元為關于r₁的二次函數，根據r₁的取值范圍求S的最小值；
（Ⅱ）如圖2，作輔助線，得到Rt△O₁O₂P，用r₁、r₂分別表示△O₁O₂P的三邊，用勾股定理可求r₁+r₂的值，根據不等式r12+r22≥

(r1+r2)2

2

求面積和的最小值．

解答：解：（Ⅰ）①如圖1，在正方形ABCD中，連接AC，顯然O₁與O₂在AC上，
且AO1=

2

r1，O₁O₂=r₁+r₂，CO2=

2

r2，
由AC=AO1+O1O2+CO2=

2

，
∴

2

r1+r1+r2+

2

r2=

2

．
∴r1+r2=2-

2

．
②根據題意，r₁≤

1

2

，r₂≤

1

2

，
可得r2=2-

2

-r1≤

1

2

，即

3

2

-

2

≤r₁≤

1

2

．
∵⊙O₁與⊙O₂的面積之和S=π（r₁²+r₂²），
∴

S

π

=r12+(2-

2

-r1)2
=2r12-2(2-

2

)r1+6-4

2

=2(r1-

2- 2

2

)2+3-2

2

，
這里

3

2

-

2

≤

2- 2

2

≤

1

2

，
∴當r1=

2- 2

2

時，⊙O₁與⊙O₂是等圓，其面積和的最小值為(3-2

2

)π；

（Ⅱ）如圖2，作輔助線，得到Rt△O₁O₂P，
則O₁O₂=r₁+r₂，O1P=AB-r1-r2=

3

2

-r1-r2，O₂P=BC-r₁-r₂=1-r₁-r₂．
∵在Rt△O₁O₂P中，O₁O₂²=O₁P²+O₂P²，
∴(r1+r2)2=(

3

2

-r1-r2)2+(1-r1-r2)2．
即(r1+r2)2-5(r1+r2)+

13

4

=0．
解得r1+r2=

5

2

+

3

或r1+r2=

5

2

-

3

．
由于r1+r2＜1+

3

2

=

5

2

，故r1+r2=

5

2

+

3

不合題意，應舍去．
∴r1+r2=

5

2

-

3

．
∵⊙O₁與⊙O₂的面積之和S=π（r₁²+r₂²），
而r12+r22≥

(r1+r2)2

2

，當且僅當r₁=r₂時，等號成立，
∴當r₁=r₂時，⊙O₁與⊙O₂面積和存在最小值，最小值為

( 5 2 - 3 )2

2

π，即(

37

8

-

5

2

3

)π．

點評：本題考查了圓的面積計算，切線、圓與圓相切的性質．關鍵是根據勾股定理將兩圓半徑與已知矩形邊長聯(lián)系起來．