矩形OABC在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(6,0)、C(0,3),直線y=x與BC邊相交于點(diǎn)D.
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)若拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)D、A兩點(diǎn),試確定此拋物線的表達(dá)式;
(3)P為x軸上方(2)中拋物線上一點(diǎn),求△POA面積的最大值;
(4)設(shè)(2)中拋物線的對(duì)稱軸與直線OD交于點(diǎn)M,點(diǎn)Q為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),以Q、O、M為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似,求符合條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】分析:(1)已知直線y=x與BC交于點(diǎn)D(x,3),把y=3代入等式可得點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)如圖拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)D(4,3)、A(6,0)兩點(diǎn),把已知坐標(biāo)代入解析式得出a,b的值即可;
(3)當(dāng)S△POA有最大值時(shí),點(diǎn)P須位于拋物線的最高點(diǎn).因?yàn)閍<0可推出拋物線頂點(diǎn)恰為最高點(diǎn);
(4)證明Rt△Q1OM∽R(shí)t△CDO以及Rt△Q2Q1O≌Rt△DCO后推出CD=Q1Q2=4得出符合條件的坐標(biāo).
解答:解:(1)由題知,直線y=x與BC交于點(diǎn)D(x,3).(1分)
把y=3代入y=x中得,x=4,
∴D(4,3);(3分)

(2)拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)D(4,3)、A(6,0)兩點(diǎn),
把x=4,y=3;x=6,y=0,分別代入y=ax2+bx中,(4分)

解之得(5分)
∴拋物線的解析式為y=-x2+x;(6分)

(3)因△POA底邊OA=6,
∴當(dāng)S△POA有最大值時(shí),點(diǎn)P須位于拋物線的最高點(diǎn),
∵a=-<0,
∴拋物線頂點(diǎn)恰為最高點(diǎn),(7分)
(8分)
∴S△POA的最大值=×6×=;(10分)

(4)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)Q1,符合條件.
∵CB∥OA∠Q1OM=∠CDO,
∴Rt△Q1OM∽R(shí)t△CDO.x=-=3,該點(diǎn)坐標(biāo)為Q1(3,0).(11分)
過(guò)點(diǎn)O作OD的垂線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)Q2,

∵對(duì)稱軸平行于y軸,
∴∠Q2MO=∠DOC,
∴Rt△Q2MO∽R(shí)t△DOC.
在Rt△Q2Q1O和Rt△DCO中
Q1O=CO=3,∠Q2=∠ODC,
∴Rt△Q2Q1O≌Rt△DCO.
∴CD=Q1Q2=4,
∵點(diǎn)Q2位于第四象限,
∴Q2(3,-4).(12分)
因此,符合條件的點(diǎn)有兩個(gè),分別是Q1(3,0),Q2(3,-4).(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查的是三角形面積的計(jì)算,二次函數(shù)的綜合運(yùn)用.難度較大.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖22,將—矩形OABC放在直角坐際系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn).點(diǎn)A在x軸正半軸上.點(diǎn)E是邊AB上的—個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、N重合),過(guò)點(diǎn)E的反比例函數(shù)的圖象與邊BC交于點(diǎn)F。

1.若△OAE、△OCF的而積分別為S1、S2.且S1+S2=2,求的值:

2.若OA=2.0C=4.問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形OAEF的面積最大.其最大值為多少?

 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(本小題滿分10分)如圖,將—矩形OABC放在直角坐際系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn).點(diǎn)Ax軸正半軸上.點(diǎn)E是邊AB上的—個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)AB重合),過(guò)點(diǎn)E的反比例函數(shù)的圖象與邊BC交于點(diǎn)F.

(1)若△OAE、△OCF的而積分別為.且,求k的值.

(2)若OA=2,0C=4,問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形OAEF的面積最大,其最大值為多少?

 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012屆山東省寧津縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)中考模擬數(shù)學(xué)試卷(帶解析) 題型:解答題

如圖22,將—矩形OABC放在直角坐際系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn).點(diǎn)A在x軸正半軸上.點(diǎn)E是邊AB上的—個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、N重合),過(guò)點(diǎn)E的反比例函數(shù)的圖象與邊BC交于點(diǎn)F。
【小題1】若△OAE、△OCF的而積分別為S1、S2.且S1+S2=2,求的值:
【小題2】若OA=2.0C=4.問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形OAEF的面積最大.其最大值為多少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年山東省九年級(jí)中考模擬數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖22,將—矩形OABC放在直角坐際系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn).點(diǎn)A在x軸正半軸上.點(diǎn)E是邊AB上的—個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、N重合),過(guò)點(diǎn)E的反比例函數(shù)的圖象與邊BC交于點(diǎn)F。

1.若△OAE、△OCF的而積分別為S1、S2.且S1+S2=2,求的值:

2.若OA=2.0C=4.問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形OAEF的面積最大.其最大值為多少?

 

闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年湖北省荊門市東寶區(qū)中考模擬數(shù)學(xué)卷 題型:解答題

(本小題滿分10分)如圖,將—矩形OABC放在直角坐際系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn).點(diǎn)Ax軸正半軸上.點(diǎn)E是邊AB上的—個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)AB重合),過(guò)點(diǎn)E的反比例函數(shù)的圖象與邊BC交于點(diǎn)F.

(1)若△OAE、△OCF的而積分別為.且,求k的值.

(2)若OA=2,0C=4,問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形OAEF的面積最大,其最大值為多少?

 

闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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