Question

【題目】如圖，點C為線段AB上一點，△ACM與△CBN都是等邊三角形，AN與MB交于P．

（1）求證：AN＝BM；

（2）連接CP，求證：CP平分∠APB．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）由“SAS”可證△ACN≌△MCB，可得AN＝BM；

（2）過點C作CE⊥AN于點E，作CF⊥BM于點F，由全等三角形的性質(zhì)可得S△ACN＝S△MCB，由三角形的面積相等，可得CE＝CF，由角平分線的性質(zhì)定理的逆定理，即可得結(jié)論．

（1）∵△ACM與△CBN都是等邊三角形，

∴AC＝CM，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°，

∴∠ACN＝∠BCM＝120°，且AC＝CM，CN＝CB，

∴△ACN≌△MCB（SAS），

∴AN＝BM；

（2）過點C作CE⊥AN于點E，作CF⊥BM于點F，

∵△ACN≌△MCB，

∴S△ACN＝S△MCB，

∴×AN×CE＝×BM×CF，且AN＝BM，

∴CE＝CF，且CE⊥AN，CF⊥BM，

∴CP平分∠APB．