Question

如圖，AB為⊙O的直徑，BF切⊙O于點(diǎn)B，AF交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)C在DF上，BC交⊙O于點(diǎn)E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于點(diǎn)G，連接AE．
（1）直接寫出AE與BC的位置關(guān)系；
（2）求證：△BCG∽△ACE；
（3）若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半徑長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,角平分線的性質(zhì),等腰三角形的判定,含30度角的直角三角形,勾股定理,圓周角定理,切線的性質(zhì),相似三角形的判定

專題：幾何綜合題

分析：（1）由AB為⊙O的直徑即可得到AE與BC垂直．
（2）易證∠CBF=∠BAE，再結(jié)合條件∠BAF=2∠CBF就可證到∠CBF=∠CAE，易證∠CGB=∠AEC，從而證到△BCG∽△ACE．
（3）由∠F=60°，GF=1可求出CG=

3

；連接BD，容易證到∠DBC=∠CBF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DC=CG=

3

；設(shè)圓O的半徑為r，易證AC=AB，∠BAD=30°，從而得到AC=2r，AD=

3

r，由DC=AC-AD=

3

可求出⊙O的半徑長(zhǎng)．

解答：解：（1）如圖1，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°．
∴AE⊥BC．

（2）如圖1，
∵BF與⊙O相切，
∴∠ABF=90°．
∴∠CBF=90°-∠ABE=∠BAE．
∵∠BAF=2∠CBF．
∴∠BAF=2∠BAE．
∴∠BAE=∠CAE．
∴∠CBF=∠CAE．
∵CG⊥BF，AE⊥BC，
∴∠CGB=∠AEC=90°．
∵∠CBF=∠CAE，∠CGB=∠AEC，
∴△BCG∽△ACE．

（3）連接BD，如圖2所示．
∵∠DAE=∠DBE，∠DAE=∠CBF，
∴∠DBE=∠CBF．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∴BD⊥AF．
∵∠DBC=∠CBF，BD⊥AF，CG⊥BF，
∴CD=CG．
∵∠F=60°，GF=1，∠CGF=90°，
∴tan∠F=

CG

GF

=CG=tan60°=

3

∵CG=

3

，
∴CD=

3

．
∵∠AFB=60°，∠ABF=90°，
∴∠BAF=30°．
∵∠ADB=90°，∠BAF=30°，
∴AB=2BD．
∵∠BAE=∠CAE，∠AEB=∠AEC，
∴∠ABE=∠ACE．
∴AB=AC．
設(shè)⊙O的半徑為r，則AC=AB=2r，BD=r．
∵∠ADB=90°，
∴AD=

3

r．
∴DC=AC-AD=2r-

3

r=（2-

3

）r=

3

．
∴r=2

3

+3．
∴⊙O的半徑長(zhǎng)為2

3

+3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定、角平分線的性質(zhì)、30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識(shí)，有一定的綜合性．連接BD，證到∠DBC=∠CBF是解決第（3）題的關(guān)鍵．