Question

如圖，拋物線y=x²+mx+n與直線y=﹣x+3交于A，B兩點(diǎn)，交x軸與D，C兩點(diǎn)，連接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．

（Ⅰ）求拋物線的解析式和tan∠BAC的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：

（1）P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，過點(diǎn)P作PQ⊥PA交y軸于點(diǎn)Q，問：是否存在點(diǎn)P使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（2）設(shè)E為線段AC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接DE，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DE以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，再沿線段EA以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到A后停止，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少？

Answer 1

解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=x²+mx+n，得

，

解得：．

∴拋物線的解析式為y=x²﹣x+3．

聯(lián)立，

解得：或，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1）．

過點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，如圖1．

∵C（3，0），B（4，1），

∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1，

∴BH=CH=1．

∵∠BHC=90°，

∴∠BCH=45°，BC=．

同理：∠ACO=45°，AC=3，

∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，

∴tan∠BAC===；

（Ⅱ）（1）存在點(diǎn)P，使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似．

過點(diǎn)P作PG⊥y軸于G，則∠PGA=90°．

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，由P在y軸右側(cè)可得x＞0，則PG=x．

∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，

∴∠APQ=∠ACB=90°．

若點(diǎn)G在點(diǎn)A的下方，

①如圖2①，當(dāng)∠PAQ=∠CAB時(shí)，則△PAQ∽△CAB．

∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，

∴△PGA∽△BCA，

∴==．

∴AG=3PG=3x．

則P（x，3﹣3x）．

把P（x，3﹣3x）代入y=x²﹣x+3，得

x²﹣x+3=3﹣3x，

整理得：x²+x=0

解得：x₁=0（舍去），x₂=﹣1（舍去）．

②如圖2②，當(dāng)∠PAQ=∠CBA時(shí)，則△PAQ∽△CBA．

同理可得：AG=PG=x，則P（x，3﹣x），

把P（x，3﹣x）代入y=x²﹣x+3，得

x²﹣x+3=3﹣x，

整理得：x²﹣x=0

解得：x₁=0（舍去），x₂=，

∴P（，）；

若點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方，

①當(dāng)∠PAQ=∠CAB時(shí)，則△PAQ∽△CAB，

同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，36）．

②當(dāng)∠PAQ=∠CBA時(shí)，則△PAQ∽△CBA．

同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（，）．

綜上所述：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，36）、（，）、（，）；

（2）過點(diǎn)E作EN⊥y軸于N，如圖3．

在Rt△ANE中，EN=AE•sin45°=AE，即AE=EN，

∴點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中所用的時(shí)間為+=DE+EN．

作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′E，

則有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，

∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：

當(dāng)D′、E、N三點(diǎn)共線時(shí)，DE+EN=D′E+EN最�。�

此時(shí)，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°，

∴四邊形OCD′N是矩形，

∴ND′=OC=3，ON=D′C=DC．

對(duì)于y=x²﹣x+3，

當(dāng)y=0時(shí)，有x²﹣x+3=0，

解得：x₁=2，x₂=3．

∴D（2，0），OD=2，

∴ON=DC=OC﹣OD=3﹣2=1，

∴NE=AN=AO﹣ON=3﹣1=2，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，1）．