Question

已知關于x的方程（1-m）x²+（4-m）x+3=0．
（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍；
（2）若正整數(shù)m滿足8-2m＞2，設二次函數(shù)y=（1-m）x²+（4-m）x+3的圖象與x軸交于A、B兩點，將此圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象．請你結合這個新的圖象回答：當直線y=kx+3與此圖象恰好有三個公共點時，求出k的值（只需要求出兩個滿足題意的k值即可）．

Answer 1

解：（1）△=（4-m）²-12（1-m）=（m+2）²，
由題意得，（m+2）²＞0且1-m≠0．
故符合題意的m的取值范圍是m≠-2且m≠1的一切實數(shù)．

（2）∵正整數(shù)m滿足8-2m＞2，
∴m可取的值為1和2．
又∵二次函數(shù)y=（1-m）x²+（4-m）x+3，
∴m=2．…
∴二次函數(shù)為y=-x²+2x+3．
∴A點、B點的坐標分別為（-1，0）、（3，0）．
依題意翻折后的圖象如圖所示．
由圖象可知符合題意的直線y=kx+3經(jīng)過點A、B．
可求出此時k的值分別為3或-1．…
注：若學生利用直線與拋物線相切求出k=2也是符合題意的答案．
分析：（1）根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，由一元二次方程的定義和根的判別式可求m的取值范圍；
（2）先求出正整數(shù)m的值，從而確定二次函數(shù)的解析式，得到解析式與x軸交點的坐標，由圖象可知符合題意的直線y=kx+3經(jīng)過點A、B．從而求出k的值．
點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題．（1）考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關系：△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）得到符合題意的直線y=kx+3經(jīng)過點A、B是解題的關鍵．