Question

如圖，A和B是高度同為h的圓柱形容器，底面半徑分別為r和R，且r＜R．一龍頭單獨向A注水，用T分鐘可以注滿容器A．現(xiàn)將兩容器在他們高度的一半處用一個細(xì)管連通（連通細(xì)管的容積忽略不計），仍用該水龍頭向注水A，問2T分鐘時，容器A中水的高度是多少？（注：若圓柱體底面積半徑為R，高為h，體積為V，則V=πR²h．）

Answer 1

解：由題意：A的體積=πr²h，B的體積=πR²h，
水龍頭用T分鐘可以注滿A．則它的注水速度=，注水2T分鐘時注入的水的體積=2πr²h，
它們高度的一半處的兩個瓶子的容積之和=πh（r²+R²）．
①當(dāng)2T分鐘時注入的水的體積=2πr²h小于或等于高度的一半處的兩個瓶子的容積之和，A容器內(nèi)水的高度為（注水2T分鐘后，容器A中的高度肯定超過了），
2πr²h≤πh（r²+R²），
3r²≤R²，
即當(dāng)3r²≤R²時，A容器內(nèi)水的高度為．
②當(dāng)2t分鐘時注入的水的體積=2πr²h大于高度的一半處的兩個瓶子的容積之和時，
2πr²h＞πh（r²+R²），
3r²＞R²，
即當(dāng)3r²＞R²時，
A容器內(nèi)水的高度等于注入的水的體積除以兩個圓柱容器的底面積之和，高度==
①當(dāng)3r²≤R²時，容器A中水的高度是；
②當(dāng)3r²＞R²時，容器A中水的高度是．
分析：根據(jù)題意由水的總體積等于兩個容器內(nèi)水的體積之和可列出代數(shù)式，注意要分兩種情況考慮當(dāng)2T分鐘時注入的水的體積小于或等于高度的一半處的兩個瓶子的容積之和時是一種關(guān)系，當(dāng)注入的水的體積大于高度的一半處的兩個瓶子的容積之和時是一種關(guān)系，分別列式求解即可．
點評：本題考查了列代數(shù)式及學(xué)生從題干中獲取信息分析問題解決問題的能力，本題知識面綜合性較大，需要學(xué)生仔細(xì)分析尋找等量關(guān)系．