Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC

（1）求過點(diǎn)A，B的直線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在x軸上找一點(diǎn)D，連接DB，使得△ADB與△ABC相似（不包括全等），并求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，如P，Q分別是AB和AD上的動點(diǎn)，連接PQ，設(shè)AP＝DQ＝m，問是否存在這樣的m，使得△APQ與△ADB相似？如存在，請求出m的值；如不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+；（2）D點(diǎn)位置見解析，D（，0）；（3）符合要求的m的值為或．

【解析】

（1）先根據(jù)A（3，1），C（1，0），求出AC進(jìn)而得出BC＝3求出B點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式即可；

（2）運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）由于△APQ與△ADB已有一組公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB兩種情況討論，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)建立關(guān)于m的方程，就可解決問題．

解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），

∴AC＝4，

∵BC＝AC，

∴BC＝×4＝3，

∴B（1，3），

設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，

∴，

∴，

∴直線AB的解析式為y＝x+；

（2）若△ADB與△ABC相似，過點(diǎn)B作BD⊥AB交x軸于D，

∴∠ABD＝∠ACB＝90°，如圖1，

此時＝，即AB2＝ACAD．

∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，

∴AB＝5，

∴25＝4AD，

∴AD＝，

∴OD＝AD﹣AO＝﹣3＝，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）；

（3）∵AP＝DQ＝m，

∴AQ＝AD﹣QD＝﹣m．

Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如圖2，

則有＝，

∴APAD＝ABAQ，

∴m＝5（﹣m），

解得m＝；

Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如圖3，

則有＝，

∴APAB＝ADAQ，

∴5m＝（﹣m），

解得：m＝，

綜上所述：符合要求的m的值為或．